欧几里得算法基于这样一个 GCD 递归定理:$gcd(a, b) = gcd(b, a\bmod{b}) $证明如下:假设 $a > b$, $a = kb + r(0 <= r < b)$, 即 $a\bmod{b} = r$.若有 $d \mid a$ 且 $d \mid b$, 必然有 $d \mid a - kb$, 即 $d \mid r$. 由此得知, $a$ 与 $b$ 的所有公约数必然是 $b$ 与 $r$ 的公约数.若有 $d \mid r$ 且 $d \mid b$, 必然有 $d \mid kb + r$, 即 $d \mid a$. 由此得知, $b$ 与 $r$ 的所有公约数必然是 $a$ 与 $b$ 的公约数.所...
扩展欧几里得的模板题，要记住：x=y1;y=x1-a/b*y1。这道题的推导过程如下：1.因为A/B==0，所以令A/B=x，即A=Bx。又因为n=A%m，所以m*y+n=A。由上面可推导出Bx-my=n。2.由扩展欧几里得算法可以算出B*x1+m*y1=1的根，等式两边同时乘上n可以变形为B*(x1*n)-m*(-n*y1)=n。所以x=n*x1。到这里我们只需要通过扩欧算出x1，答案即为(x1*n)%m。3.最后要注意的一点，扩展欧几里得算法算出的x1可能为负数，这显然是不成立的。又因为x=x1+b*t;y...
求两个数的最大公约数,比如50和15的最大公约数是5,算法如下:# 欧几里得 求最大公约数def gcd(m, n):while (n != 0):rem = m % nm = nn = remreturn m;# 测试 a = gcd(50, 15) print(a) 假设m>n ,第一次循环后,m替换成n,n则替换成余数rem,继续循环直到余数为0,返回最大公约数. 原文：https://www.cnblogs.com/coloz/p/11015812.html
首先是裴蜀定理对任意两个整数、，设是它们的最大公约数。那么关于未知数和的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）：有整数解(x,y) 当且仅当m 是d 的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个解。 原文：http://www.cnblogs.com/sorhri/p/4833592.html
先感谢参考文献：http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html注：以下讨论的数均为整数 一、欧几里得算法（重点是证明，对后续知识有用） 欧几里得算法，也叫辗转相除，简称 gcd，用于计算两个整数的最大公约数 定义 gcd(a,b) 为整数 a 与 b 的最大公约数 引理：gcd(a,b)=gcd(b,a%b) 证明： 设 r=a%b , c=gcd(a,b) 则 a=xc , b=yc , 其中x , y互质 r=a%b=a-pb=xc-pyc=(x...
求解形如ax+by=gcd(a,b)的一组解。#include<bits/stdc++.h>//ax+by=gcd(a,b) x=? y=?usingnamespace std; int extend_gcd(int a,int b,int &x,int &y){int ret,tmp;if(!b){x=1;y=0;return a;}ret=extend_gcd(b,a%b,x,y);tmp=x;x=y;y=tmp-a/b*y;return ret; } int main(){int a,b,x,y,z;cin>>a>>b;z=extend_gcd(a,b,x,y);cout<<x<<""<<y<<""<<z;return0; } 原文：https://www.cnblogs.com/uncklesam7/p/9757606.html
一、欧几里得算法（辗转相除法）ll gcd(ll a, ll b){if(b==0) return a;elsereturn gcd(b,a%b); } 二、扩展欧几里得算法在求a，b的gcd的同时求出一组特解 x,y满足方程 ax + by = gcd(a,b) void extgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y){if(!b){ d=a; x=1; y=0;}else{ extgcd(b,a%b,d,y,x); y-=x*(a/b); } } 三、关于方程 ax + by = c若gcd(a,b) | c,则方程有解，否则无解。 【解法】先运用扩展欧几里得算法求出ax + by = gcd(a,b)...
用较大数除以较小数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。https://baike.baidu.com/item/%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%97%E7%AE%97%E6%B3%95/1647675?fr=aladdin原文：https://www.cnblogs.com/20191301lhq/p/11794569.html
欧几里得算法-计算两个正整数a，b的最大公约数#定理：gcd(a,b) = gcd(b, a mod b)终止条件：余数等于0返回结果：余数等于0时的除数b# -*- coding: utf-8 -*- __author__ = ‘nob‘#迭代欧几里得 def iterative_gcd(a, b): r = a % b while(r): a = b b = r r = a % b return b #递归欧几里得 def recursive_gcd(a, b): if b == 0: return a else: return recursive...
A/BTime Limit: 1000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 2390 Accepted Submission(s): 1731Problem Description要求(A/B)%9973，但由于A很大，我们只给出n(n=A%9973)(我们给定的A必能被B整除，且gcd(B,9973) = 1)。 Input数据的第一行是一个T，表示有T组数据。每组数据有两个数n(0 <= n < 9973)和B(1 <= B <= 10^9)。 Output对应每组数据输出(A/B)%9973。 Sample In...
拓展欧几里得算法 //拓展欧几里得算法 /* 找出整数对(x,y),使得ax+by=gcd(a,b),(x,y)可以为负数或者0 */ void gcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y) {if(!b){d=a;x=1;y=0;}else{gcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);} }若a,b,c为任意整数. 若方程ax+by=c的一组整数解为(x0,y0), 则它的任意整数解可以写成(x+kb’,y-ka’),其中a’=a/gcd(a,b), b’=b/gcd(a,b) 有了这个结论: 移项得到ax+by=-c, 然后求出一组解即可得到所有解 设a,b,c为任...
拓展欧几里得算法： 1. 概述： 不仅能求出两个正整数m和n的最大公因数d，还能求出两个整数x和y(不一定为正)使得mx+ny=d 2. 分析： 这个其实挺简单的步骤如下: 我们假设m是d的a倍；n是d的b倍，而a和b我们是可以通过求最大公因数d来求出来的原式可以化为：ax+by=1;这就是一个简单的一次方程了，我们可以得到方程的无穷多种解；对于给定的x。y=（1-ax）/ b。这种情况给出的是一般解，我们要给出整个方程的通解这个一个非齐次方程，通解...
~~ 欧几里得算法 概念介绍PTA算法实现 ~~ 如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 最大公因数，也称最大公约数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a，b的最大公约数记为（a，b） 设两数为a、b(bgcd(a,b）表示a，b的最大公约数，r=a mod b 为a除以b以后的余数，k为a除以b的商，即ab=k…r。 gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r） #include <stdio.h>int gcd( int x, int y );int main() {int x, y;s...
更多数字的最大公约数可以逐步分解为更小的最大公约数 gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c); 两个数的最小公倍数就是这两个数的乘积除以最小公倍数 lcm(a, b) = (a * b) / gcd(a, b); //定义lcm()为最小公倍数函数
浅谈 分而治之-欧几里得算法 一、抛出问题二、欧几里得算法及证明一、算法二、证明此问题讨论来源于《算法图解》[美] Aditya Bhargava一、抛出问题 假设你有一小块田地，面积是1680*640。你要将这块地均匀地分成方块，并且分出地方块要尽可能大，你该如何分？ 首先你可能想到，我直接对半分一下就好了，但是题中是需要分成的是方块；那你可能想到，我先按方块来分，然后对剩下不是方块的部分，我再分成方块。但是这就违背了均匀的题...