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数学建模——层次分析法
内容导读
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内容图文
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数学建模:建模+编程+写作
层次分析法
应用:评价类问题
举例:哪种方案最好、谁的表现更优秀。。。
分析问题:
(1)评价的目标是什么
(2)有几种方案可以达成目标(方案1、方案2、方案3、、、、)
(3)评价的准则or指标是什么
分析系统中各因素的关系,建立系统的递接层次结构
目标层
准则层
方案层
(建模论文中要画层次结构图,可以用SmartArt生成)
怎么查找评价准则or指标?
(1)从知网等数据库搜索相关文献,借鉴别人的研究方法
(2)没有文献,小组成员头脑风暴
(3)互联网搜索别人或者专家的看法
得到指标1、指标2、指标3、指标4、指标5、、、(不能太多,会影响判断矩阵的一致性)
确定好指标后,要分析权重
两个两个指标相互比较,最终根据两两比较的结果来推算权重
(一次性考虑很多个指标,会考虑不周)
构造判断矩阵
指标1 | 指标2 | 指标3 | 指标4 | 指标5 | |
指标1 | |||||
指标2 | |||||
指标3 | |||||
指标4 | |||||
指标5 |
下面是指标之间比较的量化值(重要值或者满意度)
因素i比因素j | 量化值 |
同等重要 | 1 |
稍微重要 | 3 |
较强重要 | 5 |
强烈重要 | 7 |
极端重要 | 9 |
两相邻判断的中间值 | 2,4,6,8 |
表1
根据表1,得到判断矩阵,记为A,对应元素aij(除了对角元素,其他乱填的,数据要根据查到的资料,事实进行填写)
指标1 | 指标2 | 指标3 | 指标4 | 指标5 | |
指标1 | 1 | 1/2 | 4 | 3 | 3 |
指标2 | 2 | 1 | 7 | 5 | 5 |
指标3 | 1/4 | 1/7 | 1 | 1/2 | 1/3 |
指标4 | 1/3 | 1/5 | 2 | 1 | 1 |
指标5 | 1/3 | 1/5 | 3 | 1 | 1 |
矩阵A特点:
(1)aij的含义:与指标 j 相比,指标 i 的重要程度
(2)i =j,指标相同(对角线元素),同等重要,记为1
(3)正互反矩阵:aij >0,且aij x aji =1
一致性矩阵:正互反矩阵满足aij x ajk =aik (各行(各列)成倍数关系)
矩阵A为一致矩阵的充要条件:(A为n阶方阵)
(i)aij >0
(ii)a11=a22 =........=ann
(iii)[ai1,ai2,ai3,.......ain] = ki [a11,a12,a13,.......a1n]
可知r(A)=1, A的特征值为 tr(A),0,0,0...........0 (n-1个0)
特征值为 n,0,0,0.....0
特征值=n,对应特征向量为 k [1/a11,1/a12,.......,1/a1n]T
n阶正互反矩阵,一致时,特征值max = n
不一致,特征值max > n
判断矩阵越不一致,最大特征值与n差别越大
得到判断矩阵后,分析权重:
判断矩阵必须先进行一致性检验:(不一致现象:出现矛盾之处。例如,方案1中,指标1比2重要,指标1和3一样重要,但是指标2比3重要)
检验通过,权重才能用
检验步骤:
(1)计算一致性指标CI
(2)查找平均随机一致性指标RI
矩阵阶数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
RI | 0 | 0 | 0.58 | 0.90 | 1.12 | 1.24 | 1.32 | 1.41 | 1.45 |
1.49
|
(3)计算一致性比例CR
如果CR<0.1 ,则认为该判断矩阵通过一致性检验,可以接受,否则就要对判断矩阵进行修正。
往一致矩阵上调整,一致矩阵各行成倍数关系
一致矩阵计算权重
方法1:算数平均法求权重
(1)将判断矩阵按照列归一化(每一个元素除以其所在列的和)
(2)将归一化的各列相加(按行求和)
(3)将相加后得到的向量中每个元素除以n
方法2:几何平均法求权重
(1)将A的元素按照行相乘,得到一个列向量
(2)将新的向量的每个分量开n次方
(3)对该向量进行归一化
方法3:特征值法求权重
(1)求出矩阵A的最大特征值以及对应的特征向量
(2)对求出的特征向量进行归一化
最后,将三种方法的权重值取平均值(用excel处理更方便)
计算各层元素对系统目标的权重,进行排序
内容总结
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