如何意会微积分（正在更新ing...）

内容导读

互联网集市收集整理的这篇技术教程文章主要介绍了如何意会微积分（正在更新ing...），小编现在分享给大家，供广大互联网技能从业者学习和参考。文章包含8192字，纯文字阅读大概需要12分钟。

内容图文

文章目录

• • 极限：静态的理论难以解释动态的现实，所以需要动态的理论
  • • 数列极限：ε-N 语言
    • 函数极限：ε-δ 语言

 

---

微积分是建立在 极限、无穷小、连续性 等等概念的基础上的，所以要学会微积分，就要先理解这些概念。

从 无穷大、无穷小 到 极限；从 极限 到 连续；从 连续 到 导数；从 导数 到 微分；从 微分 到 积分 — 自学微积分卡壳，一般是在【极限】的概念开始的，主要是因为脑子没有换成“动态的数学脑子”，还是静态地看问题。

 

---

极限：静态的理论难以解释动态的现实，所以需要动态的理论

微积分的思想是 分割、以直代曲、近似求和取极限。

比如，求一个曲边梯形面积：

使用微积分的思想，用矩形的直线代曲：

n n n 越大，梯形内的矩形越多，以直代曲的数值就越精确：

当 Δ x \Delta x Δx 无限接近0时，矩形的面积和就与曲线下的面积相等，这种计算算法被称为“微积分”。

• 微分： Δ x \Delta x Δx 无限接近0时，微小的矩形面积。

• 积分：把无数这样微小矩形的面积加起来
  

但什么是 Δ x \Delta x Δx 无限接近0？牛顿、莱布尼茨说的是到头…数学，你用语文定义～

在定义什么是 “ Δ x \Delta x Δx无限接近 0 0 0”时，遇到了真正的困难：

• Δ x \Delta x Δx无限接近于 0 0 0，但 Δ x ≠ 0 \Delta x\ne 0 Δx?=0， 否则以 0 0 0为底边长的矩形面积为 0 0 0，无穷多个 0 0 0相加仍然为 0 0 0
• Δ x \Delta x Δx无限接近于 0 0 0，又必须最接近 0 0 0， 不可能有什么实数比 Δ x \Delta x Δx更接近于 0 0 0
• Δ x \Delta x Δx最接近于 0 0 0，所以 Δ x \Delta x Δx一定不能为实数，否则 Δ x 2 \displaystyle\frac{\Delta x}{2} 2Δx?就会比 Δ x \Delta x Δx更接近于 0 0 0

这个问题最早由柯西解决，虽然柯西的定义也不严格，但他的思路是完全准确的。

牛顿、莱布尼茨对 Δ x \Delta x Δx无限接近 0 0 0的描述是以无穷小代替的（不能再小的数）。

柯西、魏尔斯特拉斯比牛顿、莱布尼茨进步的地方在于，他们把无穷小这个概念从过去人们理解的小得不能再小的数，看成了一个动态变化，往零这个点靠近的趋势 — 从初等数学到高等数学，就是要把看数学的眼光，从一个个静态的数字、孤立的公式，上升到动态变化的趋势。

举个例子，数列： 1 + ( ? 1 ) n ? 1 n 1+\frac{(-1)^{n-1}}{n} 1+n(?1)n?1?

观察 n ? > ∞ n -> ∞ n?>∞ 时的变化趋势：

发现越来越趋近 1 1 1，但一定不是 1 1 1，只是无限接近。

所以，柯西说这个数列的极限是 1 1 1。

但是，魏尔斯特拉斯却说还不够精确。

魏尔斯特拉斯肯定了柯西的极限是关于一个无限逼近的趋势的观点，但是在描述无限逼近的方法上，他采用了逆向思维。

• 魏尔斯特拉斯：误差多么小算是趋近了？

• 柯西：总得小于一亿分之一吧。

• 魏尔斯特拉斯：但只要 N N N 大于一亿分之一，这个数列和 1 1 1的差距就小于一亿分之一了。

• 柯西：那小于 1 0 100000000000000000000000000 10^{100000000000000000000000000} 10100000000000000000000000000 吧。

• 魏尔斯特拉斯：但只要 N N N 大于 1 0 100000000000000000000000000 10^{100000000000000000000000000} 10100000000000000000000000000 ，这个数列和 1 1 1的差距就小于 1 0 100000000000000000000000000 10^{100000000000000000000000000} 10100000000000000000000000000 了。

• 柯西：… …

• 魏尔斯特拉斯：不管您说的数多么接近，都能做到，这就是无限逼近。

所以，魏尔斯特拉斯对【极限】的描述是这样的：

• 任意给一个小的数字 ? \epsilon ?（猜数字，比如一亿分之一），如果总能找到一个数字 M M M（比如，一亿），当 N N N 比 M M M 大之后，上面的数列 与 2 2 2 的差距小于 ? \epsilon ?。
  

用几何图形解释一下，魏尔斯特拉斯大概是这么考虑的。

比如说有这么一个数列，猜测某实数 L L L为它的极限，用一根平行 x x x轴的虚线表示：

随便给一个正实数 ? \epsilon ?，以 L L L为中心做一个区间(绿色区间)，此时只有有限个点在此区间外(红点)：

随着正实数 ? \epsilon ?的缩小（也就是越来越逼近 L L L），始终只有有限个点在此区间外：

如果 L L L猜测错了，随着正实数 ? \epsilon ?的缩小，会有无数个点在此区间外：

这就是逆向思维定义的极限：

• 极限 L L L是猜测的（后面会系统地说如何去猜）
• 正实数 ? \epsilon ?是任取的，目的是去逼近 L L L

 

---

数列极限：ε-N 语言

魏尔斯特拉斯数列极限的定义： lim ? n → ∞ x n = L \lim\limits_{n \rightarrow \infty}x_{n}=L n→∞lim?xn?=L，数列 a n a_{n} an? 在 n ? > ∞ n->∞ n?>∞ 中收敛，极限值是 L L L。

按照逆向思维定义的极限，以下的式子也等同于数列极限：

• ? ? > 0    ? N    ? n [ n > N ? ∣ x n ? L ∣ < ? ] \forall \epsilon >0 ~~\exists N~~\forall n\begin{bmatrix} n>N\Rightarrow \begin{vmatrix} x_{n}-L \end{vmatrix}<\epsilon \end{bmatrix} ??>0  ?N  ?n[n>N?∣∣?xn??L?∣∣?<??]

这个式子有点复杂，理解复杂式子的方法：【拆分】是理解的第一步。

引入了，两个逻辑符号：

• ? \forall ? 代表任意
• ? \exists ? 代表存在

为了明确他们的有效范围，我们画一些大括号：

• ? ? > 0    [ ? N    [ ? n [ n > N ? ∣ x n ? L ∣ < ? ] ] ] \forall \epsilon >0 ~~\Bigg[\exists N~~\bigg[\forall n\begin{bmatrix} n>N\Rightarrow \begin{vmatrix} x_{n}-L \end{vmatrix}<\epsilon \end{bmatrix}\bigg]\Bigg] ??>0  [?N  [?n[n>N?∣∣?xn??L?∣∣?<??]]]

而后，从左往后一个个分析：

• ? ? > 0 [    ] \forall \epsilon >0\left [ ~~ \right ] ??>0[  ] 的白话文：对于任意正数 ? \epsilon ?

• ? ? > 0 [    ? N    [    . . .    ] \forall \epsilon >0\left [ ~~\exists N ~~\right[~~...~~] ??>0[  ?N  [  ...  ] 的白话文：都存在某个自然数 N N N

• ? ? > 0 [    ? N    [    ? n    [    . . .    ]   ]   ] \forall \epsilon >0\left [ ~~\exists N ~~\left [ ~~\forall n~~\left [ ~~ ...~~\right ]~\right ]~\right] ??>0[  ?N  [  ?n  [  ...  ] ] ] 的白话文：使得 … 对任意自然数 n n n 都成立。

• ? ? > 0    [ ? N    [ ? n [ n > N ? ∣ x n ? L ∣ < ? ] ] ] \forall \epsilon >0 ~~\Bigg[\exists N~~\bigg[\forall n\begin{bmatrix} n>N\Rightarrow \begin{vmatrix} x_{n}-L \end{vmatrix}<\epsilon \end{bmatrix}\bigg]\Bigg] ??>0  [?N  [?n[n>N?∣∣?xn??L?∣∣?<??]]] 的白话文：对于任意正数 ? \epsilon ?，给每个 ? \epsilon ?都选定某个合适的自然数 N N N，使得命题 [   n > N ? ∣ x n ? L ∣ < ?   ~n>N\Rightarrow \begin{vmatrix} x_{n}-L \end{vmatrix}<\epsilon~  n>N?∣∣?xn??L?∣∣?<? ] ，对任意自然数 n n n 都成立。

• n > N ? ∣ a n ? L ∣ < ? n>N\Rightarrow \begin{vmatrix} a_{n}-L \end{vmatrix}<\epsilon n>N?∣∣?an??L?∣∣?<? 的白话文：若 n n n 大于 N N N，则点 a n a_{n} an? 在点的 ? \epsilon ? 邻域里。

数列极限的定义： ? ? > 0 ?? ? ?? ? N \forall \epsilon > 0\implies \exists N ??>0??N

因为是先确定 ? \epsilon ?，而后才能确定 N N N，所以根据这个顺序，数列极限的定义也被称为 ? ? N \color{Salmon}{\epsilon-N} ??N语言。

简单的说：不管是多窄的 ? \epsilon ?邻域，只要根据 ? \epsilon ? 丢掉开头的前 N N N 项，就能把剩下的所有项一股脑的放进 ? \epsilon ? 的邻域里。

收敛数列的性质：

• 有界性：小于某个数（收敛数列必定有界）
• 唯一性：只有一个极限
• 保号性：极限值大于（小于）0，数列从大N开始，也会满足大于（小于）0
• 收敛数列与其子数列间的关系：数列收敛于a，那子数列也收敛于a

到这里，我们就彻底理解了 — 什么是 “ Δ x \Delta x Δx无限接近 0 0 0”。

• Δ x \Delta x Δx 就是数列通项 a n = b ? a n a_{n} = \frac{b-a}{n} an?=nb?a?
• Δ x \Delta x Δx无限接近 0 0 0，就是 lim ? n → ∞ Δ x = 0 \lim_{n\rightarrow \infty }\Delta x=0 limn→∞?Δx=0

根据数列极限的定义，可以完美解决之前的困难：

我们可以知道了数列极限的定义，就可以用定义证明数列的极限。

虽然数列极限的定义，但并未给出求极限的方法。
 

---

函数极限：ε-δ 语言

数列的极限： lim ? n → ∞ x n = L \lim\limits_{n \rightarrow \infty}x_{n}=L n→∞lim?xn?=L，数列 a n a_{n} an? 在 n ? > ∞ n->∞ n?>∞ 中收敛，极限值是 L L L。

函数的极限： lim ? n → a f ( x ) = L \lim\limits_{n \rightarrow a}f(x)=L n→alim?f(x)=L，函数 f ( x ) f(x) f(x) 在 n ? > a n->a n?>a 中收敛，极限值是 L L L。

逆向定义的等价式子：

• ? ? > 0    ? δ > 0    ? x [ 0 < ∣ a ? x ∣ < δ ? ∣ L ? f ( x ) ∣ < ? ] \forall \epsilon >0 ~~\exists \delta>0~~\forall x \bigg[0<\begin{vmatrix} a-x \end{vmatrix}<\delta \Rightarrow \begin{vmatrix} L - f(x) \end{vmatrix} < \epsilon\bigg] ??>0  ?δ>0  ?x[0<∣∣?a?x?∣∣?<δ?∣∣?L?f(x)?∣∣?<?]

拆解，是理解复杂式子的唯一方法：

• ? ? > 0 \forall \epsilon >0 ??>0 的白话文：对于任意正数 ? \epsilon ?
• ? ? > 0    ? δ > 0 \forall \epsilon >0 ~~\exists \delta>0 ??>0  ?δ>0 的白话文：都存在某个正数 δ \delta δ
• ? ? > 0    ? δ > 0    ? x \forall \epsilon >0 ~~\exists \delta>0~~\forall x ??>0  ?δ>0  ?x 的白话文：使得 ··· 对任意 x x x 都成立
• ? ? > 0    ? δ > 0    ? x [ 0 < ∣ a ? x ∣ < δ ? ∣ L ? f ( x ) ∣ < ? ] \forall \epsilon >0 ~~\exists \delta>0~~\forall x \bigg[0<\begin{vmatrix} a-x \end{vmatrix}<\delta \Rightarrow \begin{vmatrix} L - f(x) \end{vmatrix} < \epsilon\bigg] ??>0  ?δ>0  ?x[0<∣∣?a?x?∣∣?<δ?∣∣?L?f(x)?∣∣?<?] 的白话文：对于任意正数 ? \epsilon ?，给每个都选定合适的正数 δ \delta δ，使得命题 [ 0 < ∣ a ? x ∣ < δ ? ∣ L ? f ( x ) ∣ < ? ] \bigg[0<\begin{vmatrix} a-x \end{vmatrix}<\delta \Rightarrow \begin{vmatrix} L - f(x) \end{vmatrix} < \epsilon\bigg] [0<∣∣?a?x?∣∣?<δ?∣∣?L?f(x)?∣∣?<?] 对于任意 x x x 都成立。
• 0 < ∣ a ? x ∣ < δ 0<\begin{vmatrix} a-x \end{vmatrix}<\delta 0<∣∣?a?x?∣∣?<δ，注意不是 ? \epsilon ? 邻域，而是 δ \delta δ 邻域。
• [ 0 < ∣ a ? x ∣ < δ ? ∣ L ? f ( x ) ∣ < ? ] \bigg[0<\begin{vmatrix} a-x \end{vmatrix}<\delta \Rightarrow \begin{vmatrix} L - f(x) \end{vmatrix} < \epsilon\bigg] [0<∣∣?a?x?∣∣?<δ?∣∣?L?f(x)?∣∣?<?] 的白话文：若 x x x 在 a a a 的 δ \delta δ 邻域里，且 x ≠ a x \neq a x?=a，则 f ( x ) f(x) f(x) 在 A A A 的 ? \epsilon ? 邻域。

函数极限出现了俩个邻域，不管 ? \epsilon ? 邻域有多小，都会存在某个 δ \delta δ，满足【如果把 x x x 放在 a a a 的去心 δ \delta δ 邻域里，那 f ( x ) f(x) f(x) 就在 A A A 的 ? \epsilon ? 邻域里】。

映射到几何模型上：《如何能更好的理解（ε-δ）语言极限的定义？》。

内容总结

以上是互联网集市为您收集整理的如何意会微积分（正在更新ing...）全部内容，希望文章能够帮你解决如何意会微积分（正在更新ing...）所遇到的程序开发问题。 如果觉得互联网集市技术教程内容还不错，欢迎将互联网集市网站推荐给程序员好友。

内容备注

版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点与技术仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容， 请发送邮件至 gblab@vip.qq.com 举报，一经查实，本站将立刻删除。

内容手机端

---