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高等数学总结(曲线,曲面积分1)
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1)第一类曲线积分(对弧长的积分)
对光滑曲线L,有某个函数f(x,y)在该曲线上有界,则有如下积分定义:
被积函数f(x,y)表达了在曲线L上的一种数量性质,比如密度,热度之类的。
第一类曲线积分有如下三个性质:
A)常数因子可提,函数相加的弧长积分等于函数对弧长分别积分的和;
B) 对弧长L的积分,如果L=L1+L2+...+Ln,则满足弧长L的积分等于各段弧长积分的和;(可加性);
C) 如果在弧长 L上,函数f(x,y)<=g(x,y):
D)第一类曲线积分公式(计算方法):
其中f(x,y)是弧段L上的某种性质(数量性)函数,L有参数方程给定:x=φ(t),y=ψ(t),α<=t<=β.
第一类曲线积分可以很容易推广到三维空间:
2)对坐标的曲线积分:
对坐标的曲线积分,被积函数一般是弧段上的向量函数(比如求力函数的做功),这是与第一类积分中的积分函数所区别的地方。
其积分表达为:
其中P(x,y),Q(x,y)是被积函数。对应的向量形式为F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j
第二类曲线积分也很容易推广到三维空间,第二类曲线积分具有如下性质:
A)函数相加的积分等于各函数分别积分的和;(与第一类曲线积分类似)
B)积分区段可加性(与第一类曲线类似)
C)第2类曲线积分的积分弧段是有方向的,从A到B积分等于从B到A积分的相反数。(第一类积分不具有这种性质)
D)计算公式:
其中F(x,y)=P*i+Q*j是弧段L上的某种性质(向量性)函数,L有参数方程给定:x=φ(t),y=ψ(t),α<=t<=β.
对坐标的曲线积分也可以很容易推广到三维:
3)两类曲线之间的关系
其中cosα,cosβ是有向弧段L的切向量的方向余弦,满足:
4)格林公式:
格林公式提供了二重积分到坐标曲线积分之间的转换公式(弧长积分可以通过两类积分关系来变换)。
5)曲线积分与路径无关的充分必要条件是:
积分:
满足:
6)全微分求积
P(x,y)dx+Q(x,y)dy为某个函数u=u(x,y)的全微分的充分必要条件是:
B)全微分求积:
如果du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,u=u(x,y):或者:
7)全微分方程:
方程:P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个函数u(x,y)的全微分,则方程是全微分方程。其通解如下:
8)曲线积分的基本定理:
9)第一类曲面积分(对面积的曲面积分):
其中f(x,y,z)是曲面z=z(x,y)上的向量性质函数。第一类曲面积分的性质与第一类曲线积分的性质类似;
10)第2类曲面积分:
性质和第二类曲线积分类似;
计算:
注意:z=z(x,y).类似的可以给出P,Q的积分方式,但要注意符号。
11)两类曲面积分的关系:
其中 α,β,γ是曲面Σ在点(x,y,z)的法向量的方向夹角。
原文:http://blog.csdn.net/hawksoft/article/details/43636351
内容总结
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