1. RNN

首先思考这样一个问题：在处理序列学习问题时，为什么不使用标准的神经网络（建立多个隐藏层得到最终的输出）解决，而是提出了RNN这一新概念？
标准神经网络如下图所示：

标准神经网络在解决序列问题时，存在两个问题：

• 难以解决每个训练样例子输入输出长度不同的情况，因为序列的长度代表着输入层、输出层的维度，不可能每训练一个样例就改变一次网络结构。
• 标准的神经网络不能共享从文本不同位置上学到的特征。举例说明：如果Harry作为人名位于一个训练例子中的第一个位置，而当Harry出现在其他例子的不同位置时，我们希望模型依然能识别其为人名，而不是只能识别位于第一个位置的Harry。

1.1 前向传播

以NLP中“命名实体识别“任务为例，序列中每一个输入字符对应一个输出，即\(T_y=T_x\)：

• \(a^{<0>}\)是初始的隐状态，一般置为零向量。
• \(a^{<i>}\)代表输入序列中第\(i\)个输入所隐含的信息，即时间步\(i\)的激活值。
• \(x^{<i>}\)代表输入序列中第i个字符，输入序列的长度为\(T_x\) 。
• \(\hat{y}^{<i>}\)代表与\(x^{<i>}\)相对应的输出值。

RNN在进行前向传播时，不光考虑当前时刻的输入\(x^{<i>}?\)，也会考虑包含上一时刻的信息（激活值\(a^{<i-1>}?\)）。计算公式如下：

\[a^{<t>}=g(W_{aa}a^{<t-1>}+W_{ax}x^{<t>}+b_a)\]
\[\hat{y}^{<t>}=g(W_{ya}a^{<t>}+b_y)\]

为了方便记忆，可以将公式进行简化，其中\(W_{aa}\)， \(W_{ax}\)合并为\(W_a\)，\(a^{<t-1>}\)与\(x^{<t>}\)合并为新的矩阵\([a^{<t-1>},x^{<t>}]\)。举例说明：假定激活值\(a^{<t-1>}\)（也可以成为隐状态）为\(100\)维，输入值\(x^{<t>}\)为\(10000\)维。那么权重矩阵\(W_{aa}\)为\(100\times 100\)维，\(W_{ax}\)为\(100\times 10000\)维。

合并后的新权重矩阵为\(W_a\)为\(100\times (100+10000)\)维，合并后的新输入\([a^{<t-1>},x^{<t>}]\)为\((100+10000)\)维向量，即将\(a^{<t-1>}\)堆叠（stack）在\(x^{<t>}\)上方。

• 简化的原理为：
  \[\begin{bmatrix}W_{aa}&W_{ax}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a^{<t-1>}\\ x^{<t>}\end{bmatrix}=W_{aa}a^{<t-1>}+W_{ax}x^{<t>}\]

• 简化后的计算公式为：
  \[a^{<t>}=g(W_{a}[a^{<t-1>},x^{<t>}]+b_a)\]
  \[\hat{y}^{<t>}=g(W_{y}a^{<t>}+b_y)\]