NOIP2014D2T3解方程Hash大法好
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![NOIP2014D2T3解方程Hash大法好](/upload/InfoBanner/zyjiaocheng/529/0a1c20a08f454a86b3ff5ad9d162f304.jpg)
题目大意:给定高次方程an*x^n...a1*x^1a0*x^0=0 求[1,m]区间内有多少个整数根 ai=10^10000,m=100W 懒得高精,考场上写的long double乱搞……30分打底50分顶天QAQ 当我终于搞定了各种非官方数据之后,我只能长跪大地,手捧鲜花,仰望上苍高喊:哈希大法好!
题目大意:给定高次方程an*x^n+...+a1*x^1+a0*x^0=0 求[1,m]区间内有多少个整数根
ai<=10^10000,m<=100W
懒得高精,考场上写的long double乱搞……30分打底50分顶天QAQ
当我终于搞定了各种非官方数据之后,我只能长跪大地,手捧鲜花,仰望上苍高喊:哈希大法好!
首先阿贝尔在200年前告诉我们 五次以上方程没有求根公式 于是我们只能枚举1~m 这个是100W
然后100W再加上1W位的精度 都不用运算直接就是跪…… 怎么办呢QAQ
哈希大法好!
令f(x)=an*x^n+...+a1*x^1+a0*x^0 易知若f(x)=0 则f(x) mod p=0
反之如果f(x) mod p=0 那么我们基本可以得出f(x)=0 p比较靠谱的时候碰撞率极低
所以我们把所有的ai都对p取模 然后对于每个解O(n)验证即可
这样是O(m*n)的 可以拿到70分 p比较靠谱的话不会挂
那么100分怎么办呢?
哈希大法好!
我们很容易就会发现f(x+p) mod p=f(x) mod p
于是我们选择一个小一些的p,预处理出0~p-1所有的f(x),然后超过p的取模即可
但是p不够大会挂啊!
于是我们多选择几个p 分别取一遍mod 只有一个值对所有的p取模之后全都0才算作解
哈希大法好!Hash Killer III至今无人AC就是在证明这个算法的正确性!哈希万岁!哈希赛高!哈希万年推!
时间复杂度O(nΣp+m) 其中Σp是选择的所有质数之和 一般选择1W左右的质数就行了
不知道为什么不管考场上拿了多少分只要回来把题切了就算做精神AC了0.0……
#include#include #include #include #define M 110 using namespace std; typedef long long ll; const int prime[]={10007,11261,14843,19997,21893}; int n,m,stack[1001001],top; ll a[M][5],f[21893][5]; inline ll F(int x,int j) { int i; ll re=0; for(i=n;~i;i--) re=(re*x+a[i][j])%prime[j]; return re; } inline void Input(int x) { static char s[10100]; int i,j; bool flag=false; scanf("%s",s+1); for(i=1;s[i];i++) { if(s[i]=='-') flag=true; else for(j=0;j<5;j++) a[x][j]=( (a[x][j]<<1) + (a[x][j]<<3) + s[i]-'0' )%prime[j]; } if(flag) for(j=0;j<5;j++) a[x][j]=prime[j]-a[x][j]; } int main() { int i,j; cin>>n>>m; for(i=0;i<=n;i++) Input(i); for(j=0;j<5;j++) for(i=0;i<prime[j];i++) f[i][j]=F(i,j); for(i=1;i<=m;i++) { for(j=0;j<5;j++) if(f[i%prime[j]][j]) break; if(j==5) stack[++top]=i; } cout<<top<<endl; for(i=1;i<=top;i++) printf("%d\n",stack[i]); }
内容总结
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