PID算法
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简易PID算法的快速扫盲(超详细+过程推导+C语言程序)
? 分类专栏: Embeded System 文章标签: pid 自动控制 控制器 算法 版权网上关于
PID
算法的文章很多,但是感觉有必要自己再进行一次总结,抽丝剥茧地重新认识了一下PID
;
文章目录
-
- 1 前言
- 2 开环控制
- 3 闭环控制
- 4 PID
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- 4.1 系统架构
- 4.2 理论基础
- 4.3 离散化
- 4.4 伪算法
- 5 C++实现
- 6 总结
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1 前言
控制系统通常根据有没有反馈会分为开环系统和闭环系统,在闭环系统的控制中,PID
算法非常强大,其三个部分分别为;
P
:比例环节;I
:积分环节;D
:微分环节;
PID
算法可以自动对控制系统进行准确且迅速的校正,因此被广泛地应用于工业控制系统。
2 开环控制
首先来看开环控制系统,如下图所示,隆哥蒙着眼,需要走到虚线旗帜所表示的目标位置,由于缺少反馈(眼睛可以感知当前距离和位置,由于眼睛被蒙上没有反馈,所以这也是一个开环系统),最终隆哥会较大概率偏离预期的目标,可能会运行到途中实线旗帜所表示的位置。
开环系统的整体结构如下所示;
这里做一个不是很恰当的比喻;
Input
:告诉隆哥目标距离的直线位置(10米);Controller
:隆哥大脑中计算出到达目标所需要走多少步;Process
:双腿作为执行机构,输出了相应的步数,但是最终仍然偏离了目标;
看来没有反馈的存在,很难准确到达目标位置。
3 闭环控制
所以为了准确到达目标位置,这里就需要引入反馈,具体如下图所示;
在这里继续举个不怎么恰当的比喻;隆哥重获光明之后,基本可以看到目标位置了;
- 第一步
Input
:告诉隆哥目标距离的直线位置(10米); - 第二步
Controller
:隆哥大脑中计算出到达目标所需要走多少步; - 第三步
Process
:双腿作为执行机构,输出了相应的步数,但是最终仍然偏离了目标; - 第四步
Feedback
:通过视觉获取到目前已经前进的距离,(比如前进了2米,那么还有8米的偏差); - 第五步
err
:根据偏差重新计算所需要的步数,然后重复上述四个步骤,最终隆哥达到最终的目标位置。
4 PID
4.1 系统架构
虽然在反馈系统下,隆哥最终到达目标位置,但是现在又来了新的任务,就是又快又准地到达目标位置。所以这里隆哥开始采用PID Controller
,只要适当调整P
,I
和D
的参数,就可以到达目标位置,具体如下图所示;
隆哥为了最短时间内到达目标位置,进行了不断的尝试,分别出现了以下几种情况;
- 跑得太快,最终导致冲过了目标位置还得往回跑;
- 跑得太慢,最终导致到达目标位置所用时间太长;
经过不断的尝试,终于找到了最佳的方式,其过程大概如下图所示;
这里依然举一个不是很恰当的比喻;
- 第一步:得到与目标位置的距离偏差(比如最开始是10米,后面会逐渐变小);
- 第二步:根据误差,预估需要多少速度,如何估算呢,看下面几步;
P
比例则是给定一个速度的大致范围,满足下面这个公式;
K
p
?
e
(
t
)
K_p*e(t)
Kp??e(t)
因此比例作用相当于某一时刻的偏差(err
)与比例系数
K
p
K_p
Kp?的乘积,具体如下所示;
绿色线为上述例子中从初始位置到目标位置的距离变化;
红色线为上述例子中从初始位置到目标位置的偏差变化,两者为互补的关系;
I
积分则是误差在一定时间内的和,满足以下公式;
K
i
∫
0
t
e
(
τ
)
d
τ
K_i\int_{_0}^te(\tau)d\tau
Ki?∫0?t?e(τ)dτ
如下图所示;
红色曲线阴影部分面积即为积分作用的结果,其不断累积的误差,最终乘以积分系数
K
i
K_i
Ki?就得到了积分部分的输出;
D
微分则是误差变化曲线某处的导数,或者说是某一点的斜率,因此这里需要引入微分;
K
d
d
e
(
t
)
d
t
K_d \cfrac{de(t)}{dt}
Kd?dtde(t)?
从图中可知,当偏差变化过快,微分环节会输出较大的负数,作为抑制输出继续上升,从而抑制过冲。
综上, K p , K i , K d K_p,K_i,K_d Kp?,Ki?,Kd?,分别增加其中一项参数会对系统造成的影响总结如下表所示;
参数 | 上升时间 | 超调量 | 响应时间 | 稳态误差 | 稳定性 |
---|---|---|---|---|---|
K p K_p Kp? | 减少 | 增加 | 小变化 | 减少 | 降级 |
K i K_i Ki? | 减少 | 增加 | 增加 | 消除 | 降级 |
K d K_d Kd? | 微小的变化 | 减少 | 减少 | 理论上没有影响 | K d K_d Kd?小,稳定性会提升 |
4.2 理论基础
上面扯了这么多,无非是为了初步理解PID
在负反馈系统中的调节作用,下面开始推导一下算法实现的具体过程;PID
控制器的系统框图如下所示;
因此不难得出输入 e ( t ) e(t) e(t)和输出 u ( t ) u(t) u(t)的关系;
u ( t ) = K p e ( t ) + K i ∫ 0 t e ( τ ) d τ + K d d e ( t ) d t u(t) = K_pe(t)+K_i\int_0^te(\tau)d\tau+K_d\cfrac{de(t)}{dt} u(t)=Kp?e(t)+Ki?∫0t?e(τ)dτ+Kd?dtde(t)?
K p K_p Kp?是比例增益;
K i K_i Ki?是积分增益;
K d K_d Kd?是微分增益;
4.3 离散化
在数字系统中进行PID算法控制,需要对上述算法进行离散化;假设系统采样时间为
Δ
t
\Delta t
Δt
则将输入
e
(
t
)
e(t)
e(t)序列化得到;
( e 0 , e 1 , e 2 , ? ? , e n ? 2 , , e n ? 1 , e n ) (e_0,e_1,e_2,\cdots,e_{n-2},,e_{n-1},e_{n}) (e0?,e1?,e2?,?,en?2?,,en?1?,en?)
将输出
u
(
t
)
u(t)
u(t)序列化得到;
(
u
0
,
u
1
,
u
2
,
?
?
,
u
n
?
2
,
,
u
n
?
1
,
u
n
)
(u_0,u_1,u_2,\cdots,u_{n-2},,u_{n-1},u_{n})
(u0?,u1?,u2?,?,un?2?,,un?1?,un?)
- 比例项: K p e ( t ) → 离 散 化 K p e k K_pe(t)\xrightarrow{离散化}K_pe_k Kp?e(t)离散化
- ?Kp?ek?
- 积分项: K i ∫ 0 t k e ( τ ) d τ → 离 散 化 K i ∑ i = 1 k e ( i ) Δ t K_i\int_0^{t_k}e(\tau)d\tau\xrightarrow{离散化}K_i\displaystyle\sum_{i=1}^ke(i)\Delta t Ki?∫0tk??e(τ)dτ离散化
- ?Ki?i=1∑k?e(i)Δt
- 微分项: K d d e ( t k ) d t → 离 散 化 K d e ( k ) ? e ( k ? 1 ) Δ t K_d\cfrac{de(t_k)}{dt}\xrightarrow{离散化}K_d\cfrac{e(k) -e(k-1)}{\Delta t} Kd?dtde(tk?)?离散化
- ?Kd?Δte(k)?e(k?1)?
所以最终可以得到式①,也就是网上所说的位置式PID:
u
(
k
)
=
K
p
e
k
+
K
i
∑
i
=
1
k
e
(
i
)
Δ
t
+
K
d
e
(
k
)
?
e
(
k
?
1
)
Δ
t
\color{#0000FF} u(k)=K_pe_k+K_i\displaystyle\sum_{i=1}^ke(i)\Delta t+K_d\cfrac{e(k) -e(k-1)}{\Delta t}
u(k)=Kp?ek?+Ki?i=1∑k?e(i)Δt+Kd?Δte(k)?e(k?1)?
将式①再做一下简化;
Δ
u
(
k
)
=
u
(
k
)
?
u
(
k
?
1
)
\Delta u(k) = u(k) - u(k-1)
Δu(k)=u(k)?u(k?1)
最终得到增量式PID的离散公式如下:
Δ u ( k ) = K p ( e ( k ) ? e ( k ? 1 ) ) + K i e ( k ) + K d ( e ( k ) ? 2 e ( k ? 1 ) + e ( k ? 2 ) ) \Delta u(k)=K_p(e(k)-e(k-1))+K_ie(k)+K_d \Big( e(k)-2e(k-1)+e(k-2) \Big) Δu(k)=Kp?(e(k)?e(k?1))+Ki?e(k)+Kd?(e(k)?2e(k?1)+e(k?2))
4.4 伪算法
这里简单总结一下增量式PID实现的伪算法;
previous_error := 0 //上一次偏差
integral := 0 //积分和
//循环
//采样周期为dt
loop:
//setpoint 设定值
//measured_value 反馈值
error := setpoint ? measured_value //计算得到偏差
integral := integral + error × dt //计算得到积分累加和
derivative := (error ? previous_error) / dt //计算得到微分
output := Kp × error + Ki × integral + Kd × derivative //计算得到PID输出
previous_error := error //保存当前偏差为下一次采样时所需要的历史偏差
wait(dt) //等待下一次采用
goto loop
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5 C++实现
这里是增量式PID算法的C语言实现;
pid.cpp
#ifndef _PID_SOURCE_
#define _PID_SOURCE_
#include <iostream>
#include <cmath>
#include "pid.h"
using namespace std;
class PIDImpl
{
public:
PIDImpl( double dt, double max, double min, double Kp, double Kd, double Ki );
~PIDImpl();
double calculate( double setpoint, double pv );
private:
double _dt;
double _max;
double _min;
double _Kp;
double _Kd;
double _Ki;
double _pre_error;
double _integral;
};
PID::PID( double dt, double max, double min, double Kp, double Kd, double Ki )
{
pimpl = new PIDImpl(dt,max,min,Kp,Kd,Ki);
}
double PID::calculate( double setpoint, double pv )
{
return pimpl->calculate(setpoint,pv);
}
PID::~PID()
{
delete pimpl;
}
/**
* Implementation
*/
PIDImpl::PIDImpl( double dt, double max, double min, double Kp, double Kd, double Ki ) :
_dt(dt),
_max(max),
_min(min),
_Kp(Kp),
_Kd(Kd),
_Ki(Ki),
_pre_error(0),
_integral(0)
{
}
double PIDImpl::calculate( double setpoint, double pv )
{
// Calculate error
double error = setpoint - pv;
// Proportional term
double Pout = _Kp * error;
// Integral term
_integral += error * _dt;
double Iout = _Ki * _integral;
// Derivative term
double derivative = (error - _pre_error) / _dt;
double Dout = _Kd * derivative;
// Calculate total output
double output = Pout + Iout + Dout;
// Restrict to max/min
if( output > _max )
output = _max;
else if( output < _min )
output = _min;
// Save error to previous error
_pre_error = error;
return output;
}
PIDImpl::~PIDImpl()
{
}
#endif
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pid.h
#ifndef _PID_H_
#define _PID_H_
class PIDImpl;
class PID
{
public:
// Kp - proportional gain
// Ki - Integral gain
// Kd - derivative gain
// dt - loop interval time
// max - maximum value of manipulated variable
// min - minimum value of manipulated variable
PID( double dt, double max, double min, double Kp, double Kd, double Ki );
// Returns the manipulated variable given a setpoint and current process value
double calculate( double setpoint, double pv );
~PID();
private:
PIDImpl *pimpl;
};
#endif
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pid_example.cpp
#include "pid.h"
#include <stdio.h>
int main() {
PID pid = PID(0.1, 100, -100, 0.1, 0.01, 0.5);
double val = 20;
for (int i = 0; i < 100; i++) {
double inc = pid.calculate(0, val);
printf("val:% 7.3f inc:% 7.3f\n", val, inc);
val += inc;
}
return 0;
}
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编译并测试;
g++ -c pid.cpp -o pid.o
# To compile example code:
g++ pid_example.cpp pid.o -o pid_example
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6 总结
本文总结了PID
控制器算法在闭环系统中根据偏差变化的具体调节作用,每个环节可能对系统输出造成什么样的变化,给出了位置式和增量式离散PID
算法的推导过程,并给出了位置式算法的C++
程序实现。
?由于作者能力和水平有限,文中难免存在错误和纰漏,请不吝赐教。
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