大话数据结构02-算法

内容导读

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内容图文

1.开场白

       算法是解决特定问题求解步骤的描述， 在计算机中表现为指令的有限序列， 并且 每条指令表示一个或多个操作。也就是数据结构与算法分析的过程。

     现在我要求你写一个求 1+2+3+……+100 结果的程序，大部分人这么写：

       这相当于另外一种求等差数列的算法，等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示；例如：1,3,5,7,9……2n-1。通项公式为：an=a1+(n-1)*d。首项a1=1，公差d=2。

2.算法定义

       什么是算法呢?算法是描述解决问题的方法。算法 (Algo付出m) 这个单词最早出 现在被斯数学家阿勒·花刺子密在公元 825 年(相当于我们中国的唐朝时期)所写的 《印度数字算术》中。 如今普遍认可的对算洁的定义是:

        算法是解决特定问噩求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。

2.1 算法特性

算法具有五个基本特性: 输入、输出、 有穷性、确定性和可行性。

• 输入和输出特性比较容易理解， 算法具有零个或多个输入，算法至少有一个或多个输出， 算法是一定需要输出的
  

• 有穷性:指算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每 一个步骤在可接受的时间内完成，不能死循环
• 确定性:算法的每一步骤都具有确定的含义， 不会出现二义性。
  
• 可行性:算法的每一步都必须是可行的， 也就是说，每一步都能够通过执行有限次数完成。

 

2.2.算法设计的要求

     算法不是唯一的。也就是说，同一个问题，可以有多种解决问 题的算法，但相对好的算法还是存在的，所以有几大要求要满足 正确性，可读性，健壮性和时间效率高、存储量低。

• 正确性 算法的正确性是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、 能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案。 但是算法"正确"通常在用法上有很大的差别，大体分为以下四个层次。
  1）算法程序没有语法错误。
  2）算法程序对于合法的输入数据能够产生满足要求的输出结果。
  3）算法程序对于非法的输入数据能够得出满足规格说明的结果。
  4）算法程序对于精心选择的，甚至刁难的测试数据都有满足要求的输出结果。
  

• 可读性  算法设计的另一目的是为了便于阅读、 理解和交流。 可读性高有助于人们理解算法，晦涩难愤的算法往往隐含错误，不易被发现， 并 且难于调试和修改。我们写代码的目的，一方面是为了让计算机执行，但还有一个重要的目的是为了 便于他人阅读， 让人理解和交流
  

• 健壮性 当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理， 不产生异常或莫名其妙的结果。
  

• 时间效率高和存储量低：时间效率指的是算法的执行时间 ， 对于同一个问题，如果有多个算法能够解决， 执行时间短的算法效率高，执行时间长的效率低。 存储量需求指的是算法在执行过程 中需要的最大存储空间， 主要指算法程序运行时所占用的内存或外部硬盘存储空间。
  

2.3.算法效率的度量方法

• 事后统计方法:这种方法主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时 器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。
  
• 事前分析估算方法:在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算。
  

       1）算法采用的策略、 方法。
        2）编译产生的代码质量。
        3）问题的输入规模。
        4）机器执行指令的速度。

       我们在分析一个算法的运行时间时，重要的是把基本操作的敬量与输入规模关联起来， f!P基本操作的数量必须表示成输入规模的函数：是 f (n) =n的次方（执行次数）

       

3.算法评估

3.1.时间复杂度计算 T ( n ) = O(f(n))

      在进行算法分析时，语句总的执行次撞 T ( n )是关于问题规模 n 的函数，进而分析 T ( n )随 n 的变化情况并确定T(n)的数量，因此算法的时间复杂度=算法的时间量度，记作: T ( n ) = O(f(n))。 它表示随问题规模 n 的增大，算法执行时间的增长率和 f（n）的增长率相同，都作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。 其中 f ( n) 是问题规模 n 的某个函数。这样用大写 O()来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大 0 记法。 一般情况下，随着 n 的增大， T(n)增长最慢的算法为最优算法。大写 O()来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大 0 记法。 一般情况下，随着 n 的增大， T(n)增长最慢的算法为最优算法。

        我们现在来判断一下，两个算法 A 和 B 哪个更好。 假设两个算法的输入规模都是 n，算法 A 要做 2n + 3 次操作，你可以理解为先有一个 n 次的循环，执行完成后，再有一于n 次循环，最后三次赋值或运算，共 2n + 3 次操作。 算法 B 要做 3n + 1 次 操作。 你觉得它们谁更快呢?

函数的渐近增长:给定两个画鼓 f (川和 g( n )， 如果存在-个整鼓 N， 使得对于所有的 n > N, f ( n )总是比 g( n )大，那么， 我们说 f ( n ,) 的增长渐近快子 g ( n )。某个算法，随着 n 的增大，宫会越来越优于另一算法，或 者越来越羞于另一算法。

常见时间复杂度表（复杂度按升序排列）

0(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < 0(n2 ) < 0(n3 ) < 0(2") < O(n!) < O(n")

3.2.算法空间复杂度 S(o)= O(f(o））

      算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公 式记作: S(o)= O(f(o))，其中， 0 为问题的规模， f(n)为语句关于 n 所占存储空间的函数。

3.3.最坏情况与平均情况

       最坏情况运行时间是一种保证，那就是运行时间将不会再坏了。 在应用中，这是一种最重要的需求， 通常，除非特别指定， 我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。平均运行时闯是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间

       平均运行时间也就是从概率的角度看 ， 这个数字在每一个位置的可能性是相同 的，所以平均的查找时间为 n/2 次后发现这个目标元素。

4.总结

     算法的定义:算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中为指令的有限序 列，并且每条指令表示一个或多个操作。

• 算法的特性: 有穷性、确定性、可行性、输入、输出。
• 算法的设计的要求: 正确性、可读性、健壮性、 高效率和低存储量需求。
• 算法特性与算法设计容易混，需要对比记忆。
• 算法的度量方法: 事后统计方法(不科学、不准确)、 事前分析估算方法。

     对算法的分析：

• 一种方法是计算所有情况的平均值，这种时间复杂度的计算方法 称为平均时间复杂度。
• 一种方法是计算最坏情况下的时间复杂度，这种方法称为最 坏时间复杂度。 一般在没有特殊说明的情况下，都是指最坏时间复杂度。

      推导大 0 阶:
? 用常数 1 取代运行时间中的所有加法常数。
? 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
? 如果最高阶项存在且不是 1 ，则去除与这个项相乘的常数。
得到的结果就是大 0 阶。通过这个步骤，我们可以在得到算法的运行次数表达式后，很快得到宫的时间复 杂度，即大 0 阶。同时我也提醒了大家，其实推导大 0 阶很容易，但如何得到运行次 数的表达式却是需要数学功底的。

内容总结

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