首页 / 算法 / 支持向量机原理(四)SMO算法原理
支持向量机原理(四)SMO算法原理
内容导读
互联网集市收集整理的这篇技术教程文章主要介绍了支持向量机原理(四)SMO算法原理，小编现在分享给大家，供广大互联网技能从业者学习和参考。文章包含8518字，纯文字阅读大概需要13分钟。
内容图文
支持向量机原理(四)SMO算法原理
在SVM的前三篇里，我们优化的目标函数最终都是一个关于αα向量的函数。而怎么极小化这个函数，求出对应的αα向量，进而求出分离超平面我们没有讲。本篇就对优化这个关于αα向量的函数的SMO算法做一个总结。
1. 回顾SVM优化目标函数
我们首先回顾下我们的优化目标函数：
minα12∑i=1,j=1mαiαjyiyjK(xi,xj)?∑i=1mαimin?α12∑i=1,j=1mαiαjyiyjK(xi,xj)?∑i=1mαi
s.t.∑i=1mαiyi=0s.t.∑i=1mαiyi=0
0≤αi≤C0≤αi≤C
我们的解要满足的KKT条件的对偶互补条件为：
α?i(yi(wTxi+b)?1+ξ?i)=0αi?(yi(wTxi+b)?1+ξi?)=0
根据这个KKT条件的对偶互补条件，我们有：
α?i=0?yi(w???(xi)+b)≥1αi?=0?yi(w???(xi)+b)≥1
0<α?i<C?yi(w???(xi)+b)=10<αi?<C?yi(w???(xi)+b)=1
α?i=C?yi(w???(xi)+b)≤1αi?=C?yi(w???(xi)+b)≤1
由于w?=∑j=1mα?jyj?(xj)w?=∑j=1mαj?yj?(xj),我们令g(x)=w???(x)+b=∑j=1mα?jyjK(x,xj)+b?g(x)=w???(x)+b=∑j=1mαj?yjK(x,xj)+b?，则有：
α?i=0?yig(xi)≥1αi?=0?yig(xi)≥1
0<α?i<C?yig(xi)=10<αi?<C?yig(xi)=1
α?i=C?yig(xi)≤1αi?=C?yig(xi)≤1
2. SMO算法的基本思想
上面这个优化式子比较复杂，里面有m个变量组成的向量αα需要在目标函数极小化的时候求出。直接优化时很难的。SMO算法则采用了一种启发式的方法。它每次只优化两个变量，将其他的变量都视为常数。由于∑i=1mαiyi=0∑i=1mαiyi=0.假如将α3,α4,...,αmα3,α4,...,αm 固定，那么α1,α2α1,α2之间的关系也确定了。这样SMO算法将一个复杂的优化算法转化为一个比较简单的两变量优化问题。
为了后面表示方便，我们定义Kij=?(xi)??(xj)Kij=?(xi)??(xj)
由于α3,α4,...,αmα3,α4,...,αm都成了常量，所有的常量我们都从目标函数去除，这样我们上一节的目标优化函数变成下式：
minα1,α112K11α21+12K22α22+y1y2K12α1α2?(α1+α2)+y1α1∑i=3myiαiKi1+y2α2∑i=3myiαiKi2min?α1,α112K11α12+12K22α22+y1y2K12α1α2?(α1+α2)+y1α1∑i=3myiαiKi1+y2α2∑i=3myiαiKi2
s.t.α1y1+α2y2=?∑i=3myiαi=?s.t.α1y1+α2y2=?∑i=3myiαi=?
0≤αi≤Ci=1,20≤αi≤Ci=1,2
3. SMO算法目标函数的优化
为了求解上面含有这两个变量的目标优化问题，我们首先分析约束条件，所有的α1,α2α1,α2都要满足约束条件，然后在约束条件下求最小。
根据上面的约束条件α1y1+α2y2=?0≤αi≤Ci=1,2α1y1+α2y2=?0≤αi≤Ci=1,2，又由于y1,y2y1,y2均只能取值1或者-1, 这样α1,α2α1,α2在[0,C]和[0,C]形成的盒子里面，并且两者的关系直线的斜率只能为1或者-1，也就是说α1,α2α1,α2的关系直线平行于[0,C]和[0,C]形成的盒子的对角线，如下图所示：
由于α1,α2α1,α2的关系被限制在盒子里的一条线段上，所以两变量的优化问题实际上仅仅是一个变量的优化问题。不妨我们假设最终是α2α2的优化问题。由于我们采用的是启发式的迭代法，假设我们上一轮迭代得到的解是αold1,αold2α1old,α2old，假设沿着约束方向α2α2未经剪辑的解是αnew,unc2α2new,unc.本轮迭代完成后的解为αnew1,αnew2α1new,α2new
由于αnew2α2new必须满足上图中的线段约束。假设L和H分别是上图中αnew2α2new所在的线段的边界。那么很显然我们有：
L≤αnew2≤HL≤α2new≤H
而对于L和H，我们也有限制条件如果是上面左图中的情况，则
L=max(0,αold2?αold1)H=min(C,C+αold2?αold1)L=max(0,α2old?α1old)H=min(C,C+α2old?α1old)
如果是上面右图中的情况，我们有：
L=max(0,αold2+αold1?C)H=min(C,αold2+αold1)L=max(0,α2old+α1old?C)H=min(C,α2old+α1old)
也就是说，假如我们通过求导得到的αnew,unc2α2new,unc，则最终的αnew2α2new应该为：
αnew2=?????Hαnew,unc2Lαnew,unc2>HL≤αnew,unc2≤Hαnew,unc2<Lα2new={Hα2new,unc>Hα2new,uncL≤α2new,unc≤HLα2new,unc<L
那么如何求出αnew,unc2α2new,unc呢？很简单，我们只需要将目标函数对α2α2求偏导数即可。
首先我们整理下我们的目标函数。
为了简化叙述，我们令
Ei=g(xi)?yi=∑j=1mα?jyjK(xi,xj)+b?yiEi=g(xi)?yi=∑j=1mαj?yjK(xi,xj)+b?yi
，
其中g(x)g(x)就是我们在第一节里面的提到的
g(x)=w???(x)+b=∑j=1mα?jyjK(x,xj)+b?g(x)=w???(x)+b=∑j=1mαj?yjK(x,xj)+b?
我们令
vi=∑j=3myjαjK(xi,xj)=g(xi)?∑j=12yjαjK(xi,xj)?bvi=∑j=3myjαjK(xi,xj)=g(xi)?∑j=12yjαjK(xi,xj)?b
这样我们的优化目标函数进一步简化为：
W(α1,α2)=12K11α21+12K22α22+y1y2K12α1α2?(α1+α2)+y1α1v1+y2α2v2W(α1,α2)=12K11α12+12K22α22+y1y2K12α1α2?(α1+α2)+y1α1v1+y2α2v2
由于α1y1+α2y2=?α1y1+α2y2=?，并且y2i=1yi2=1，可以得到α1用α2α1用α2表达的式子为：
α1=y1(??α2y2)α1=y1(??α2y2)
将上式带入我们的目标优化函数，就可以消除α1α1,得到仅仅包含α2α2的式子。
W(α2)=12K11(??α2y2)2+12K22α22+y2K12(??α2y2)α2?(??α2y2)y1?α2+(??α2y2)v1+y2α2v2W(α2)=12K11(??α2y2)2+12K22α22+y2K12(??α2y2)α2?(??α2y2)y1?α2+(??α2y2)v1+y2α2v2
忙了半天，我们终于可以开始求αnew,unc2α2new,unc了，现在我们开始通过求偏导数来得到αnew,unc2α2new,unc。
?W?α2=K11α2+K22α2?2K12α2?K11?y2+K12?y2+y1y2?1?v1y2+y2v2=0?W?α2=K11α2+K22α2?2K12α2?K11?y2+K12?y2+y1y2?1?v1y2+y2v2=0
整理上式有：
(K11+K22?2K12)α2=y2(y2?y1+?K11??K12+v1?v2)(K11+K22?2K12)α2=y2(y2?y1+?K11??K12+v1?v2)
=y2(y2?y1+?K11??K12+(g(x1)?∑j=12yjαjK1j?b)?(g(x2)?∑j=12yjαjK2j?b))=y2(y2?y1+?K11??K12+(g(x1)?∑j=12yjαjK1j?b)?(g(x2)?∑j=12yjαjK2j?b))
将?=α1y1+α2y2?=α1y1+α2y2带入上式，我们有：
(K11+K22?2K12)αnew,unc2=y2((K11+K22?2K12)αold2y2+y2?y1+g(x1)?g(x2))(K11+K22?2K12)α2new,unc=y2((K11+K22?2K12)α2oldy2+y2?y1+g(x1)?g(x2))
=(K11+K22?2K12)αold2+y2(E1?E2)=(K11+K22?2K12)α2old+y2(E1?E2)
我们终于得到了αnew,unc2α2new,unc的表达式：
αnew,unc2=αold2+y2(E1?E2)K11+K22?2K12)α2new,unc=α2old+y2(E1?E2)K11+K22?2K12)
利用上面讲到的αnew,unc2α2new,unc和αnew2α2new的关系式，我们就可以得到我们新的αnew2α2new了。利用αnew2α2new和αnew1α1new的线性关系，我们也可以得到新的αnew1α1new。
4. SMO算法两个变量的选择
SMO算法需要选择合适的两个变量做迭代，其余的变量做常量来进行优化，那么怎么选择这两个变量呢？
4.1 第一个变量的选择
SMO算法称选择第一个变量为外层循环，这个变量需要选择在训练集中违反KKT条件最严重的样本点。对于每个样本点，要满足的KKT条件我们在第一节已经讲到了：
α?i=0?yig(xi)≥1αi?=0?yig(xi)≥1
0<α?i<C?yig(xi)=10<αi?<C?yig(xi)=1
α?i=C?yig(xi)≤1αi?=C?yig(xi)≤1
一般来说，我们首先选择违反0<α?i<C?yig(xi)=10<αi?<C?yig(xi)=1这个条件的点。如果这些支持向量都满足KKT条件，再选择违反α?i=0?yig(xi)≥1αi?=0?yig(xi)≥1 和 α?i=C?yig(xi)≤1αi?=C?yig(xi)≤1的点。
4.2 第二个变量的选择
SMO算法称选择第二一个变量为内层循环，假设我们在外层循环已经找到了α1α1, 第二个变量α2α2的选择标准是让|E1?E2||E1?E2|有足够大的变化。由于α1α1定了的时候,E1E1也确定了，所以要想|E1?E2||E1?E2|最大，只需要在E1E1为正时，选择最小的EiEi作为E2E2， 在E1E1为负时，选择最大的EiEi作为E2E2，可以将所有的EiEi保存下来加快迭代。
如果内存循环找到的点不能让目标函数有足够的下降， 可以采用遍历支持向量点来做α2α2,直到目标函数有足够的下降， 如果所有的支持向量做α2α2都不能让目标函数有足够的下降，可以跳出循环，重新选择α1α1
4.3 计算阈值b和差值EiEi
在每次完成两个变量的优化之后，需要重新计算阈值b。当0<αnew1<C0<α1new<C时，我们有
y1?∑i=1mαiyiKi1?b1=0y1?∑i=1mαiyiKi1?b1=0
于是新的bnew1b1new为：
bnew1=y1?∑i=3mαiyiKi1?αnew1y1K11?αnew2y2K21b1new=y1?∑i=3mαiyiKi1?α1newy1K11?α2newy2K21
计算出E1E1为：
E1=g(x1)?y1=∑i=3mαiyiKi1+αold1y1K11+αold2y2K21+bold?y1E1=g(x1)?y1=∑i=3mαiyiKi1+α1oldy1K11+α2oldy2K21+bold?y1
可以看到上两式都有y1?∑i=3mαiyiKi1y1?∑i=3mαiyiKi1，因此可以将bnew1b1new用E1E1表示为：
bnew1=?E1?y1K11(αnew1?αold1)?y2K21(αnew2?αold2)+boldb1new=?E1?y1K11(α1new?α1old)?y2K21(α2new?α2old)+bold
同样的，如果0<αnew2<C0<α2new<C, 那么有：
bnew2=?E2?y1K12(αnew1?αold1)?y2K22(αnew2?αold2)+boldb2new=?E2?y1K12(α1new?α1old)?y2K22(α2new?α2old)+bold
最终的bnewbnew为：
bnew=bnew1+bnew22bnew=b1new+b2new2
得到了bnewbnew我们需要更新EiEi:
Ei=∑SyjαjK(xi,xj)+bnew?yiEi=∑SyjαjK(xi,xj)+bnew?yi
其中，S是所有支持向量xjxj的集合。
好了，SMO算法基本讲完了，我们来归纳下SMO算法。
5. SMO算法总结
输入是m个样本(x1,y1),(x2,y2),...,(xm,ym),(x1,y1),(x2,y2),...,(xm,ym),,其中x为n维特征向量。y为二元输出，值为1，或者-1.精度e。
输出是近似解αα
1)取初值α0=0,k=0α0=0,k=0
2)按照4.1节的方法选择αk1α1k,接着按照4.2节的方法选择αk2α2k，求出新的αnew,unc2α2new,unc。
αnew,unc2=αk2+y2(E1?E2)K11+K22?2K12)α2new,unc=α2k+y2(E1?E2)K11+K22?2K12)
3)按照下式求出αk+12α2k+1
αk+12=?????Hαnew,unc2LL≤αnew,unc2>HL≤αnew,unc2≤Hαnew,unc2<Lα2k+1={HL≤α2new,unc>Hα2new,uncL≤α2new,unc≤HLα2new,unc<L
4)利用αk+12α2k+1和αk+11α1k+1的关系求出αk+11α1k+1
5)按照4.3节的方法计算bk+1bk+1和EiEi
6）在精度e范围内检查是否满足如下的终止条件：
∑i=1mαiyi=0∑i=1mαiyi=0
0≤αi≤C,i=1,2...m0≤αi≤C,i=1,2...m
αk+1i=0?yig(xi)≥1αik+1=0?yig(xi)≥1
0<αk+1i<C?yig(xi)=10<αik+1<C?yig(xi)=1
αk+1i=C?yig(xi)≤1αik+1=C?yig(xi)≤1
7)如果满足则结束，返回αk+1αk+1,否则转到步骤2）。
SMO算法终于写完了，这块在以前学的时候是非常痛苦的，不过弄明白就豁然开朗了。希望大家也是一样。写完这一篇， SVM系列就只剩下支持向量回归了，胜利在望！
内容总结
以上是互联网集市为您收集整理的支持向量机原理(四)SMO算法原理全部内容，希望文章能够帮你解决支持向量机原理(四)SMO算法原理所遇到的程序开发问题。 如果觉得互联网集市技术教程内容还不错，欢迎将互联网集市网站推荐给程序员好友。
内容备注
版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点与技术仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容， 请发送邮件至 gblab@vip.qq.com 举报，一经查实，本站将立刻删除。
内容手机端
扫描二维码推送至手机访问。