用级数定义指数函数的一个思路

内容导读

互联网集市收集整理的这篇技术教程文章主要介绍了用级数定义指数函数的一个思路，小编现在分享给大家，供广大互联网技能从业者学习和参考。文章包含1768字，纯文字阅读大概需要3分钟。

内容图文

我们用级数来定义函数\(e^x\)。定义\(e^x=:1+x+x^2/2+x^3/3!+x^4/4!...\). 根据比值判别法， 这个级数对任意x都是绝对收敛的。这很好。但是我们还需要证明这样的级数具有\(e^x\)的所有性质：单调，可微，满射。

某个老师的讲义上提供了一种利用对级数重排的证明， 这对我来说非常值得学习，我前段时间花了一晚上看完了，尽管没有做到完全理解。而这里的目的是利用微分中值定理来证明，毕竟我上的是微积分课，不能用柯西收敛定理，级数重排。那我们应该怎么做呢？首先观察到\(f(x)>0, \forall x\geq 0\).这是显然的。观察可以发现，即便我们假设这个级数是可以逐项积分的，积分余项没有多大帮助，因为这个级数积分以后还是不好估计它的增量。

\(f'(x)>0, \forall x\geq 0\). 这也是显然的。这样我们就知道了\(e^x\)在\([0,\infty)\)是严格增加的。

现在还剩下对\(\forall x<0\) 的\(f(x)>0\)，以\(f(x)\)的单调性需要证明。 首先假设\(a<b, f(a)>0, f(b)>0\). 那容易证明\(f\)在区间\([a,b]\)上的最值在\(x=b\)取到。主要用反证法：\(f(a)>0\)，且\(a\)在区间最左边。闭区间最左边的极大值一定导数小于0. 所以\(f(a)\)不能是最值。而\((a,b)\)内的一点c如果是最值,则\(f(c)=f'(c)=0<f(b)\)，所以最大值只能是\(f(b)\). \(\square\)

这里可以看到\(f'=f\)是多么厉害的一件事! 假如说有一点x，\(f(x)\)取到（局部上的）极值，那立刻得到\(f(x)=f'(x)=0\). 所以x邻域内任何取值为正的一点都会大于\(f(x)\).

接下来要搞\(x\)是负数的时候的情况。我们想要证明对任意\(c\in(b-\frac{1}{2},b), f(c)>0\)，虽然\(f(c)\)可能比\(f(b)\)小，但是不会小太多，以至于它不会小到小于小于0。 当然\(f(c)>f(b)\)也不可能。因为如果这样，\(f\)必然有一个下降，\(f'(c)<0\), 所以会有\(f(c)<0<f(b)\)，矛盾 (当然这需要更多的讨论，也与接下来的证明策略无关，只是提供一种直观；我们甚至没有证明f是连续的，直接假设了它的可微）

断言\(\forall c \in (b-\frac{1}{2},b), f(c)>f(b)/2\)。注意到\(f(b)-f(c)=f(ξ)(b-a)>0, \exists ξ \in (c,b)\),所以\(0<f(ξ)<f(b)\)。
接下来\(f(b)-f(c)<f(ξ)/2<f(b)/2\). \(\square\).

内容总结

以上是互联网集市为您收集整理的用级数定义指数函数的一个思路全部内容，希望文章能够帮你解决用级数定义指数函数的一个思路所遇到的程序开发问题。 如果觉得互联网集市技术教程内容还不错，欢迎将互联网集市网站推荐给程序员好友。

内容备注

版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点与技术仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容， 请发送邮件至 gblab@vip.qq.com 举报，一经查实，本站将立刻删除。

内容手机端

---