归并排序以及归并排序的优化

1、归并排序的实现

归并排序也利用了分治法的思想，首先将序列分成左右两部分，将左右两部分分别排序，然后将有序的两个子序列进行合并（即merge操作），程序是递归进行的，主函数实现如下：

//归并排序主函数
void merge_sort(int* a,int first,int last){
	int mid;
	if(first<last){
		mid = (first+last)/2;
		merge_sort(a,first,mid);
		merge_sort(a,mid+1,last);
		//merge(a,first,mid,last);	//merge操作方法1，普通的merge操作
		improved_merge(a,first,mid,last);     //meger操作方法2，优化的merge操作
	}
}

2、普通的merge操作
普通的merge操作在合并长度为k和m的子序列时，需要消耗k+m个空间来创建一个临时数组，空间复杂度为O(n)，实现如下：

//将从first到mid的子串和从mid+1到last的子串合并
void merge(int* a,int first,int mid,int last){ 
	int* c;
	int i = first,j = mid+1;
	int k = 0;
	//合并n个元素需要n个空间，空间复杂度为O(n)
	c = (int*)malloc(sizeof(int)*(last-first+1));
	while(i<=mid && j<=last){
		if(a[i]<=a[j]){
			c[k++] = a[i++];
		}else{
			c[k++] = a[j++];
		} 
	}
	while(i<=mid){
		c[k++] = a[i++];
	}
	while(j<=last){
		c[k++] = a[j++];
	}
	for(i=first,k=0;i<=last;i++,k++){
		a[i] = c[k];
	}
}

在合并长度为k和m的子串时，只需要min{k,m}的额外空间即可，首先申请大小为min{k,m}的空间，然后从子序列a和b中选择最右边的元素（即从子序列最大元素开始选），选择两个子序列中的较大者放在额外空间的右边，从右向左填充，额外空间填满之后再填充长度为max{k,m}的子序列，从最后一个开始填充，这种方法省了至少一半的空间，虽然空间复杂度仍未O(n)，实现如下：

//申请额外n/2个空间，如果两个子串大小不一样，则申请的空间
//大小只需要为小的那个。选取两个子串中的较大的从右往左排序。
//先填充额外空间c，再填充已有的空间。
void improved_merge(int* a,int first,int mid,int last){
	int* c;
	int i,j,k;
	//合并n个元素需要需要n/2个空间,虽然空间复杂度仍为O(n)
	c = (int*)malloc(sizeof(int)*(last-mid));
	i=mid,j=last;
 	for(k=last-mid-1;k>=0;k--){		//从右往左填充c
		if(a[i]>=a[j]){
			c[k] = a[i--];
		}else{
			c[k] = a[j--];
		}
	}
	k = mid;
	while(i>=first&&j>=mid+1){		//填充a
		if(a[i]>=a[j]){
			a[k--] = a[i--];
		}else{
			a[k--] = a[j--];
		}
	}
	while(i>=first){
		a[k--] = a[i--];
	}
	while(j>=mid+1){
		a[k--] = a[j--];
	}
	for(i=mid+1,k=0;i<=last;i++,k++){	//将c复制到a中
		a[i] = c[k];
	}
}

进行一次merge操作，worst case需要进行k+m-1次比较，即若k+m=n，需要进行n-1次比较。

递归表达式可以近似表示为：

T(n)=T(n/2)+T(n/2)+Cn。

由master theorem可得为nlgn，空间复杂度由上面分析可得为O(n)。

原文：http://blog.csdn.net/x_i_y_u_e/article/details/44650047