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数据结构与算法系列----平衡二叉树（AVL树）

内容导读

互联网集市收集整理的这篇技术教程文章主要介绍了数据结构与算法系列----平衡二叉树（AVL树），小编现在分享给大家，供广大互联网技能从业者学习和参考。文章包含9162字，纯文字阅读大概需要14分钟。

内容图文

一：背景

平衡二叉树（又称AVL树）是二叉查找树的一个进化体，由于二叉查找树不是严格的O(logN)，所以引入一个具有平衡概念的二叉树，它的查找速度是O(logN)。所以在学习平衡二叉树之前，读者需要了解二叉查找树的实现，具体链接：二叉查找树

那么平衡是什么意思？我们要求对于一棵二叉查找树，它的每一个节点的左右子树高度之差不超过1。（对于树的高度的约定：空节点高度是0；叶子节点高度是1。）例如下图：

技术分享

如果我们的二叉查找树是不平衡该怎么办？进行旋转。经过分析发现，出现不平衡无外乎四种情况，下面我们一一分析。不过在进行下面的内容前，我们先定义下树节点的代码：

typedef struct Node
{
	int m_key;
	int m_height;
	Node* m_lChild;
	Node* m_rChild;
	Node(int key)
	{
		m_key = key;
		m_height = 1;
		m_rChild = m_lChild = nullptr;
	}
}* PNode;

二：四种旋转算法

1.左左情况

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节点3的左子树比右子树高2，左节点2的左子树比右子树高，这称为左左情况。

/* 左左情况 */
PNode LL_Rotate(PNode & p)
{
	cout << "LL\n";

	PNode top = p->m_lChild;
	p->m_lChild = top->m_rChild;
	top->m_rChild = p;

	p->m_height = max(Height(p->m_lChild), Height(p->m_rChild)) + 1;
	top->m_height = max(Height(top->m_lChild), Height(top->m_rChild)) + 1;

	return top;
}

2.右右情况

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节点3的右子树比左子树高2，右节点4的右子树比左子树高，这称为右右情况。

/* 右右情况 */
PNode RR_Rotate(PNode & p)
{
	cout << "RR\n";

	PNode top = p->m_rChild;
	p->m_rChild = top->m_lChild;
	top->m_lChild = p;

	p->m_height = max(Height(p->m_lChild), Height(p->m_rChild)) + 1;
	top->m_height = max(Height(top->m_lChild), Height(top->m_rChild)) + 1;

	return top;
}

3.左右情况

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节点5的左子树比右子树高2，左节点2的右子树比左子树高，这称为左右情况。

/* 左右情况 */
PNode LR_Rotate(PNode & p)
{
	cout << "LR\n";

	p->m_lChild = RR_Rotate(p->m_lChild);
	return LL_Rotate(p);
}

4.右左情况

技术分享

节点15的右子树比左子树高2，右节点20的左子树比右子树高，这称为右左情况。

/* 右左情况 */
PNode RL_Rotate(PNode & p)
{
	cout << "RL\n";

	p->m_rChild = LL_Rotate(p->m_rChild);
	return RR_Rotate(p);
}

三：插入删除查找算法

在写之前，先看两个辅助函数：

/* 计算当前节点的高度 */
int Height(PNode & p)
{
	return (p == nullptr) ? 0 : p->m_height;
}

/* 找到该节点下的最小值节点，返回该最小值，注意参数不是引用传递 */
int FindMin(PNode  p)
{
	while (p->m_lChild)
		p = p->m_lChild;
	return p->m_key;
}

1.插入

利用递归，我们先将节点插入，插入成功即递归结束，在一层一层的结束时，然后判断经过的每个节点的左右子树高度差，进行调整。

/* 添加操作 */
bool Add(int key, PNode & p)
{
	if (p == nullptr)
	{
		p = new Node(key);
		return true;
	}
	else
	{
		if (key == p->m_key)//已存在，直接退出
			return false;

		if (key < p->m_key)//左子树
		{
			if (Add(key, p->m_lChild))//是否成功插入
			{
				if (Height(p->m_lChild) - Height(p->m_rChild) == 2)//高度差等于2，得旋转调整
				{
					if (key < p->m_lChild->m_key)
						p = LL_Rotate(p);//左左情况
					else
						p = LR_Rotate(p);//左右情况
				}
				p->m_height = max(Height(p->m_lChild), Height(p->m_rChild)) + 1;//更新高度
				return true;
			}
			else
				return false;
		}

		else //右子树
		{
			if (Add(key, p->m_rChild))
			{
				if (Height(p->m_lChild) - Height(p->m_rChild) == -2)
				{
					if (key > p->m_rChild->m_key)
						p = RR_Rotate(p);
					else
						p = RL_Rotate(p);
				}
				p->m_height = max(Height(p->m_lChild), Height(p->m_rChild)) + 1;//更新高度
				return true;
			}
			else
				return false;
		}
	}
}

2.删除

删除的节点一共三种类型：有左右孩子；没有左右孩子；只有一个孩子（左或者右）。

其中对于第一种情况，也就是该节点是有左右孩子的，这里用了一个巧妙的方法，利用转化的思想，具体看代码，把这种情况转化为第二种或第三种。

/* 删除操作 */
bool Delete(int key, PNode & p)
{
	if (p == nullptr)
		return false;
	else
	{
		if (key == p->m_key)//找到该点
		{
			if (p->m_lChild && p->m_rChild)//左右孩子都存在
			{
				p->m_key = FindMin(p->m_rChild);//找到该节点下的最小节点
				Delete(p->m_key, p->m_rChild);//转化为: 删除找到的这个最小节点
			}
			else if (!p->m_lChild && !p->m_rChild)//左右孩子都不存在
			{
				PNode t = p;//注意p是引用类型
				p = nullptr;
				delete t;
				return true;
			}
			else//左右孩子只存在一个
			{
				PNode t = p;
				p = (p->m_lChild == nullptr) ? p->m_rChild : p->m_lChild;
				delete t;
				return true;
			}
		}

		else if (key < p->m_key)//在左子树删除
		{
			if (Delete(key, p->m_lChild))
			{
				if (Height(p->m_lChild) - Height(p->m_rChild) == 2)
				{
					if (key < p->m_lChild->m_key)
						p = LL_Rotate(p);
					else
						p = LR_Rotate(p);
				}

				p->m_height = max(Height(p->m_lChild), Height(p->m_rChild)) + 1;
				return true;
			}
			else
				return false;
		}
		else//在右子树删除
		{
			if (Delete(key, p->m_rChild))
			{
				if (Height(p->m_lChild) - Height(p->m_rChild) == -2)
				{
					if (key > p->m_rChild->m_key)
						p = RR_Rotate(p);
					else
						p = RL_Rotate(p);
				}
				p->m_height = max(Height(p->m_lChild), Height(p->m_rChild)) + 1;
				return true;
			}
			else
				return false;
		}
	}
}

3.查找

/* 查找操作 */
bool Find(int key, PNode & p)
{
	if (p == nullptr)
		return false;
	else
	{
		if (key == p->m_key)
			return true;
		else if (key < p->m_key)
			return Find(key, p->m_lChild);
		else
			return Find(key, p->m_rChild);
	}
}

4.层次遍历

/* 层次遍历，和普通的层次遍历不一样，打印的结果模拟了树的形状 */
void PrintTheLevel(PNode & p, int level)
{
	if (p == nullptr || level <= 0)
		return;
	if (level == 1)
	{
		cout << p->m_key << "," << p->m_height << "  ";//输出节点及对应的高度
		return;
	}

	PrintTheLevel(p->m_lChild, level - 1);
	PrintTheLevel(p->m_rChild, level - 1);
}

void LevelOrder(PNode & p)
{
	int depth = Height(p);
	for (int i = 1; i <= depth; i++)
	{
		PrintTheLevel(p, i);//打印树的第i行
		cout << endl;
	}
}

四：完整代码

#define _CRT_SECURE_NO_DEPRECATE 
#define _CRT_SECURE_CPP_OVERLOAD_STANDARD_NAMES 1 

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef struct Node
{
	int m_key;
	int m_height;
	Node* m_lChild;
	Node* m_rChild;
	Node(int key)
	{
		m_key = key;
		m_height = 1;
		m_rChild = m_lChild = nullptr;
	}
}* PNode;

PNode pRoot = nullptr;//根节点


/* 计算当前节点的高度 */
int Height(PNode & p)
{
	return (p == nullptr) ? 0 : p->m_height;
}

/* 找到该节点下的最小值节点，返回该最小值，注意参数不是引用传递 */
int FindMin(PNode  p)
{
	while (p->m_lChild)
		p = p->m_lChild;
	return p->m_key;
}

/* 左左情况 */
PNode LL_Rotate(PNode & p)
{
	cout << "LL\n";

	PNode top = p->m_lChild;
	p->m_lChild = top->m_rChild;
	top->m_rChild = p;

	p->m_height = max(Height(p->m_lChild), Height(p->m_rChild)) + 1;
	top->m_height = max(Height(top->m_lChild), Height(top->m_rChild)) + 1;

	return top;
}

/* 右右情况 */
PNode RR_Rotate(PNode & p)
{
	cout << "RR\n";

	PNode top = p->m_rChild;
	p->m_rChild = top->m_lChild;
	top->m_lChild = p;

	p->m_height = max(Height(p->m_lChild), Height(p->m_rChild)) + 1;
	top->m_height = max(Height(top->m_lChild), Height(top->m_rChild)) + 1;

	return top;
}

/* 左右情况 */
PNode LR_Rotate(PNode & p)
{
	cout << "LR\n";

	p->m_lChild = RR_Rotate(p->m_lChild);
	return LL_Rotate(p);
}

/* 右左情况 */
PNode RL_Rotate(PNode & p)
{
	cout << "RL\n";

	p->m_rChild = LL_Rotate(p->m_rChild);
	return RR_Rotate(p);
}

/* 添加操作 */
bool Add(int key, PNode & p)
{
	if (p == nullptr)
	{
		p = new Node(key);
		return true;
	}
	else
	{
		if (key == p->m_key)//已存在，直接退出
			return false;

		if (key < p->m_key)//左子树
		{
			if (Add(key, p->m_lChild))//是否成功插入
			{
				if (Height(p->m_lChild) - Height(p->m_rChild) == 2)//高度差等于2，得旋转调整
				{
					if (key < p->m_lChild->m_key)
						p = LL_Rotate(p);//左左情况
					else
						p = LR_Rotate(p);//左右情况
				}
				p->m_height = max(Height(p->m_lChild), Height(p->m_rChild)) + 1;//更新高度
				return true;
			}
			else
				return false;
		}

		else //右子树
		{
			if (Add(key, p->m_rChild))
			{
				if (Height(p->m_lChild) - Height(p->m_rChild) == -2)
				{
					if (key > p->m_rChild->m_key)
						p = RR_Rotate(p);
					else
						p = RL_Rotate(p);
				}
				p->m_height = max(Height(p->m_lChild), Height(p->m_rChild)) + 1;//更新高度
				return true;
			}
			else
				return false;
		}
	}
}

/* 删除操作 */
bool Delete(int key, PNode & p)
{
	if (p == nullptr)
		return false;
	else
	{
		if (key == p->m_key)//找到该点
		{
			if (p->m_lChild && p->m_rChild)//左右孩子都存在
			{
				p->m_key = FindMin(p->m_rChild);//找到该节点下的最小节点
				Delete(p->m_key, p->m_rChild);//转化为: 删除找到的这个最小节点
			}
			else if (!p->m_lChild && !p->m_rChild)//左右孩子都不存在
			{
				PNode t = p;//注意p是引用类型
				p = nullptr;
				delete t;
				return true;
			}
			else//左右孩子只存在一个
			{
				PNode t = p;
				p = (p->m_lChild == nullptr) ? p->m_rChild : p->m_lChild;
				delete t;
				return true;
			}
		}

		else if (key < p->m_key)//在左子树删除
		{
			if (Delete(key, p->m_lChild))
			{
				if (Height(p->m_lChild) - Height(p->m_rChild) == 2)
				{
					if (key < p->m_lChild->m_key)
						p = LL_Rotate(p);
					else
						p = LR_Rotate(p);
				}

				p->m_height = max(Height(p->m_lChild), Height(p->m_rChild)) + 1;
				return true;
			}
			else
				return false;
		}
		else//在右子树删除
		{
			if (Delete(key, p->m_rChild))
			{
				if (Height(p->m_lChild) - Height(p->m_rChild) == -2)
				{
					if (key > p->m_rChild->m_key)
						p = RR_Rotate(p);
					else
						p = RL_Rotate(p);
				}
				p->m_height = max(Height(p->m_lChild), Height(p->m_rChild)) + 1;
				return true;
			}
			else
				return false;
		}
	}
}

/* 查找操作 */
bool Find(int key, PNode & p)
{
	if (p == nullptr)
		return false;
	else
	{
		if (key == p->m_key)
			return true;
		else if (key < p->m_key)
			return Find(key, p->m_lChild);
		else
			return Find(key, p->m_rChild);
	}
}

/* 层次遍历，和普通的层次遍历不一样，打印的结果模拟了树的形状 */
void PrintTheLevel(PNode & p, int level)
{
	if (p == nullptr || level <= 0)
		return;
	if (level == 1)
	{
		cout << p->m_key << "," << p->m_height << "  ";//输出节点及对应的高度
		return;
	}

	PrintTheLevel(p->m_lChild, level - 1);
	PrintTheLevel(p->m_rChild, level - 1);
}

void LevelOrder(PNode & p)
{
	int depth = Height(p);
	for (int i = 1; i <= depth; i++)
	{
		PrintTheLevel(p, i);
		cout << endl;
	}
}

int main()
{


	
	return 0;
}

数据测试方面，请读者自行设计数据，针对各算法进行测试，博主设计的多组数据运行均正确。

若程序有错，请一定底下留言，博主会及时回复，谢谢。

图片资源来自及参考自：

http://www.cppblog.com/cxiaojia/archive/2012/08/20/187776.html

http://www.cnblogs.com/huangxincheng/archive/2012/07/22/2603956.html

原文：http://blog.csdn.net/laojiu_/article/details/51898992

内容总结

以上是互联网集市为您收集整理的数据结构与算法系列----平衡二叉树（AVL树）全部内容，希望文章能够帮你解决数据结构与算法系列----平衡二叉树（AVL树）所遇到的程序开发问题。如果觉得互联网集市技术教程内容还不错，欢迎将互联网集市网站推荐给程序员好友。

内容备注

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