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二分图的最大匹配 (匈牙利算法)
内容导读
互联网集市收集整理的这篇技术教程文章主要介绍了二分图的最大匹配 (匈牙利算法),小编现在分享给大家,供广大互联网技能从业者学习和参考。文章包含1665字,纯文字阅读大概需要3分钟。
内容图文
二分图:顶点可以分类两个集合X和Y,所有的边关联的两个顶点恰好一个属于集合X,另一个属于集合Y.
二分图匹配:给定一个二分图G,在G的一个子图M中,M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点,
则称M是一个匹配。
最大匹配:图中包含边数最多的匹配称为图的最大匹配.
完美匹配:如果所有点都在匹配边上,则称这个最大匹配是完美匹配.
二分图匹配基本概念:
未盖点:设VI是G的一个顶点,如果VI不与任意一条属于匹配M的边相关联,就称VI是一个未盖点.
交错轨:设P是图G的一条轨,如果P的任意两条相邻的边一定是一条属于M而另一条不属于M,就称P是交错轨.
可增广轨(增广路):两个端点都是未盖点的交错轨称为可增广轨。
可增广轨的性质:
1:P的路径长度必定为奇数,第一条边和最后一条边都不属于M。
2:P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M’。
3:M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径。
二分图最大匹配匈牙利算法思路:
思路是不停的找增广轨,并增加匹配的个数, 增广轨顾名思义是指一条可以使匹配数
变多 的路径, 在匹配问题中,增广轨的表现形式是一条"交错 轨",也就是说这条由
图的边组成 的路径, 它的第一条边是目前还没有参与匹配的,第二条边参与了匹配,
第三条边没有... 最后一条边没有参与匹配,并且始点和 终点还没有被选择过.
这样交错进行,显然他有奇 数条边. 那么对于这样一条路径,我们可以将第一条边
改为已匹配,第二条边改为未匹配... 以此类推.也就是将所有的边进行"取反",
容易发现这样修改以后,匹配仍然是合法的, 但是匹配数增加了一对. 另外, 单独的
一条连接两个未匹配点的边显然也是交错轨.
可以证 明,当不能再找到增广轨时,就得到了一个最大匹配.
参考代码:
#include<stdio.h> #include<string.h> int edge[150][150],m,n,k,used[150],link[150]; int dfs(int pos) //匈牙利算法 { int i; for(i=1;i<=m;i++) if(edge[pos][i]&&!used[i]){ used[i]=1; if(link[i]==-1||dfs(link[i])){ link[i]=pos; return 1; } } return 0; } int main() { int i,a,b,s; while(scanf("%d",&n)!=EOF){ if(n==0) break; scanf("%d%d",&m,&k); memset(edge,0,sizeof(edge)); while(k--){ scanf("%d%d%d",&i,&a,&b); edge[a][b]=1; //建图,可以用邻接表 } s=0; memset(link,-1,sizeof(link)); //先初始化 for(i=1;i<=n;i++){ memset(used,0,sizeof(used)); s+=dfs(i); } printf("%d\n",s); } return 0; }
知识扩展:
二分图的最小顶点覆盖
最小顶点覆盖要求用最少的点(X或Y中都行),让每条边都至少和其中一个点关联。
knoig定理:二分图的最小顶点覆盖数 = 二分图的最大匹配数(m)
DAG图的最小路径覆盖
用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图(DAG)G的所有顶点,这就是DAG图的最小路径覆盖问题。
结论:DAG图的最小路径覆盖数 = 节点数(n)- 最大匹配数(m)
二分图的最大独立集
结论:二分图的最大独立集数 = 节点数(n)- 最大匹配数(m)
原文:http://blog.csdn.net/acm_code/article/details/39828817
内容总结
以上是互联网集市为您收集整理的二分图的最大匹配 (匈牙利算法)全部内容,希望文章能够帮你解决二分图的最大匹配 (匈牙利算法)所遇到的程序开发问题。 如果觉得互联网集市技术教程内容还不错,欢迎将互联网集市网站推荐给程序员好友。
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