连接所有点的最小费用（Kruskal 算法）

内容导读

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内容图文

题目
连接所有点的最小费用
给你一个points 数组，表示 2D 平面上的一些点，其中 points[i] = [xi, yi] 。
连接点 [xi, yi] 和点 [xj, yj] 的费用为它们之间的 曼哈顿距离 ：|xi - xj| + |yi - yj| ，其中 |val| 表示 val
的绝对值。
请你返回将所有点连接的最小总费用。只有任意两点之间 有且仅有 一条简单路径时，才认为所有点都已
连接。
示例 1：
输入：points = [[0,0],[2,2],[3,10],[5,2],[7,0]]
输出：20
解释：
我们可以按照上图所示连接所有点得到最小总费用，总费用为 20 。
注意到任意两个点之间只有唯一一条路径互相到达。
示例 2：
输入：points = [[3,12],[-2,5],[-4,1]]
输出：18
示例 3：
输入：points = [[0,0],[1,1],[1,0],[-1,1]]
输出：4
示例 4：
输入：points = [[-1000000,-1000000],[1000000,1000000]]
输出：4000000
示例 5：
输入：points = [[0,0]]
输出：0
提示：
1 <= points.length <= 1000
-106 <= xi, yi <= 106
所有点 (xi, yi) 两两不同。
根据题意，我们得到了一张 n 个节点的完全图，任意两点之间的距离均为它们的曼哈顿距离。现在
我们需要在这个图中取得一个子图，恰满足子图的任意两点之间有且仅有一条简单路径，且这个子图的
所有边的总权值之和尽可能小。
能够满足任意两点之间有且仅有一条简单路径只有树，且这棵树包含 n 个节点。我们称这棵树为给
定的图的生成树，其中总权值最小的生成树，我们称其为最小生成树。最小生成树有一个非常经典的解
法：Kruskal。
Kruskal 算法是一种常见并且好写的最小生成树算法，由 Kruskal 发明。该算法的基本思想是从小
到大加入边，是一个贪心算法。
其算法流程为：
将图G={V,E} 中的所有边按照长度由小到大进行排序，等长的边可以按任意顺序。
初始化图 G’为 {V,?}，从前向后扫描排序后的边，如果扫描到的边 e 在 G’中连接了两个相异的连通
块,则将它插入 G’中。
最后得到的图 G’就是图 G 的最小生成树。
在实际代码中，我们首先将这张完全图中的边全部提取到边集数组中，然后对所有边进行排序，从
小到大进行枚举，每次贪心选边加入答案。使用并查集维护连通性，若当前边两端不连通即可选择这条
边。

public class Demo1 {
public int minCostConnectPoints(int[][] points) {
int n = points.length;
DisjointSetUnion dsu = new DisjointSetUnion(n);
List<Edge> edges = new ArrayList<Edge>();
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = i + 1; j < n; j++) {
edges.add(new Edge(dist(points, i, j), i, j));
}
}
Collections.sort(edges, new Comparator<Edge>() {
public int compare(Edge edge1, Edge edge2) {
return edge1.len - edge2.len;
}
});
int ret = 0, num = 1;
for (Edge edge : edges) {
int len = edge.len, x = edge.x, y = edge.y;
if (dsu.unionSet(x, y)) {
ret += len;
num++;
if (num == n) {
break;
}
}
}
return ret;
}
public int dist(int[][] points, int x, int y) {
return Math.abs(points[x][0] - points[y][0]) + Math.abs(points[x][1] -
points[y][1]);
}
}
class DisjointSetUnion {
int[] f;
int[] rank;
int n;
public DisjointSetUnion(int n) {
this.n = n;
this.rank = new int[n];
Arrays.fill(this.rank, 1);
this.f = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
this.f[i] = i;
}
}
public int find(int x) {
return f[x] == x ? x : (f[x] = find(f[x]));
}
public boolean unionSet(int x, int y) {
int fx = find(x), fy = find(y);
if (fx == fy) {
return false;
}
if (rank[fx] < rank[fy]) {
int temp = fx;
fx = fy;
fy = temp;
}
rank[fx] += rank[fy];
f[fy] = fx;
return true;
}
}
class Edge {
int len, x, y;
public Edge(int len, int x, int y) {
this.len = len;
this.x = x;
this.y = y;
}
}

时间复杂度：O(n^2log(n))，其中 n 是节点数。一般 Kruskal 是O(mlogm) 的算法，但本题中
m=n^2 ，因此总时间复杂度为 O(n^2log(n))。
空间复杂度：O(n^2)，其中 n 是节点数。并查集使用 O(n) 的空间，边集数组需要使用 O(n^2)的空
间。

内容总结

以上是互联网集市为您收集整理的连接所有点的最小费用（Kruskal 算法）全部内容，希望文章能够帮你解决连接所有点的最小费用（Kruskal 算法）所遇到的程序开发问题。 如果觉得互联网集市技术教程内容还不错，欢迎将互联网集市网站推荐给程序员好友。

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