ECC（椭圆曲线加密）算法剖析

内容导读

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内容图文

一、背景

随着计算机性能的提升，市面上的加密技术越来越不安全，1024位的RSA私钥加密已经可以破解，目前有效的手段只是将1024位换成2048位，但随着技术的进步，RSA算法的破解难度会越来越低，因此需要用更安全的加密算法来代替。随着加密难度的提高，RSA算法的密钥长度呈现指数式的增长，然而ECC算法取可以做到使用更短的密钥获得同等级别的安全性。

 

二、ECC是什么？ ECC是Elliptic Curve Cryptography（椭圆曲线密码学）的缩写，是一种基于椭圆曲线数学的公开密钥加密算法，其本质是利用离散对数问题实现加密。 ECC的主要优势，是在使用更小的密钥的同时，提供更快的性能和更高等级的安全。 ? 三、椭圆曲线又是什么？ 一条椭圆曲线就是一组被 y² = x³ + ax + b 定义的且满足 4a³ + 27b² ≠ 0 的点集。 4a³ + 27b² ≠ 0 这个限定条件是为了保证曲线不包含奇点（在数学中是指曲线上任意一点都存在切线）。 ? 四、关于阿贝尔群(abelian group) 阿贝尔群的概念是抽象代数的基本概念之一，是一种代数结构，由一个集合以及一个二元运算所组成。 如果一个集合或者运算是群的话，就必须满足以下条件（+ 表示二元运算）： 1、封闭性（closure），如果a和b被包含于群，那么a+b也一定是群的元素； 2、结合律(associativity)； 3、存在一个单位元（identity element）0，0与任意元素运算不改变其值的元素，即 a+0 = 0+a = a； 4、每个元素都存在一个逆元(inverse)； 5、交换律(commutativity)，即 a+b = b+a； ? 五、椭圆曲线中的阿贝尔群 在椭圆曲线上定义一个群： 1、群中的元素就是椭圆曲线上的点； 2、单位元就是无穷处的点0； 3、相反数P，是关于X轴对称的另一边的点； 4、二元运算规则定义如下：取一条直线上的三点（这条直线和椭圆曲线相交的三点），P, Q, R（皆非零），他们的总和等于0， P+Q+R=0。 如果P, Q, R在一条直线上的话，他们满足: P+(Q+R)=Q+(P+R)=R+(P+Q)=?=0。 当P，Q点为同一点时,P=Q，满足： 这样，我们可以直观的证明：+运算符是符合交换律和结合律的，这是一个阿贝尔群。 因为阿贝尔群满足交换律和结合律，所以点P和点-R的二元运算结果必会在曲线上，即P+P+P的结果必会在曲线上的另一点Q， 以此类推，可以得出得出： Q=kP(k个相同的点P进行二元运算（数乘）,记做kP) ? 六、离散对数问题 描述一条Fp上的椭圆曲线，常用到六个参量：T=(p,a,b,n,x,y)。（p 、a 、b） 用来确定一条椭圆曲线，p为素数域内点的个数，a和b是其内的两个大数； x,y为G基点的坐标，也是两个大数； n为点G基点的阶； 以上六个量就可以描述一条椭圆曲线，有时候我们还会用到h(椭圆曲线上所有点的个数p与n相除的整数部分)。 现在我们描述一个利用椭圆曲线进行加密通信的过程： 1、选定一条椭圆曲线 Ep(a,b) 并取椭圆曲线上一点，作为基点P。 2、选择一个大数k作为私钥，并生成公钥 Q=kP。 3、将 Ep(a,b) 和点Q、P传给用户。 4、用户接到信息后 ，将待传输的明文编码到Ep(a,b)上的一点M，并产生一个随机整数r。 5、公钥加密（密文C是一个点对）： C={rP, M+rQ} 6、私钥解密（M + rQ - k(rP) ，解密结果就是点M），公式如下： M + rQ - k(rP) = M + r(kP) - k(rP) = M 7、对点M进行解码就可以得到明文 假设在加密过程中，有一个第三者H，H只能知道椭圆曲线 Ep(a,b)、公钥Q、基点P、密文点C，而通过公钥Q、基点P求私钥k或者通过密文点C、基点P求随机数r都是非常困难的，因此得以保证数据传输的安全。 ?

内容总结

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内容备注

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