欧几里得算法基于这样一个 GCD 递归定理:$gcd(a, b) = gcd(b, a\bmod{b}) $证明如下:假设 $a > b$, $a = kb + r(0 <= r < b)$, 即 $a\bmod{b} = r$.若有 $d \mid a$ 且 $d \mid b$, 必然有 $d \mid a - kb$, 即 $d \mid r$. 由此得知, $a$ 与 $b$ 的所有公约数必然是 $b$ 与 $r$ 的公约数.若有 $d \mid r$ 且 $d \mid b$, 必然有 $d \mid kb + r$, 即 $d \mid a$. 由此得知, $b$ 与 $r$ 的所有公约数必然是 $a$ 与 $b$ 的公约数.所...
扩展欧几里得的模板题，要记住：x=y1;y=x1-a/b*y1。这道题的推导过程如下：1.因为A/B==0，所以令A/B=x，即A=Bx。又因为n=A%m，所以m*y+n=A。由上面可推导出Bx-my=n。2.由扩展欧几里得算法可以算出B*x1+m*y1=1的根，等式两边同时乘上n可以变形为B*(x1*n)-m*(-n*y1)=n。所以x=n*x1。到这里我们只需要通过扩欧算出x1，答案即为(x1*n)%m。3.最后要注意的一点，扩展欧几里得算法算出的x1可能为负数，这显然是不成立的。又因为x=x1+b*t;y...
首先是裴蜀定理对任意两个整数、，设是它们的最大公约数。那么关于未知数和的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）：有整数解(x,y) 当且仅当m 是d 的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个解。 原文：http://www.cnblogs.com/sorhri/p/4833592.html
先感谢参考文献：http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html注：以下讨论的数均为整数 一、欧几里得算法（重点是证明，对后续知识有用） 欧几里得算法，也叫辗转相除，简称 gcd，用于计算两个整数的最大公约数 定义 gcd(a,b) 为整数 a 与 b 的最大公约数 引理：gcd(a,b)=gcd(b,a%b) 证明： 设 r=a%b , c=gcd(a,b) 则 a=xc , b=yc , 其中x , y互质 r=a%b=a-pb=xc-pyc=(x...
求解形如ax+by=gcd(a,b)的一组解。#include<bits/stdc++.h>//ax+by=gcd(a,b) x=? y=?usingnamespace std;
int extend_gcd(int a,int b,int &x,int &y){int ret,tmp;if(!b){x=1;y=0;return a;}ret=extend_gcd(b,a%b,x,y);tmp=x;x=y;y=tmp-a/b*y;return ret;
}
int main(){int a,b,x,y,z;cin>>a>>b;z=extend_gcd(a,b,x,y);cout<<x<<""<<y<<""<<z;return0;
} 原文：https://www.cnblogs.com/uncklesam7/p/9757606.html
Acwing 1301. C 循环
对于 C 语言的循环语句，形如：
for (variable = A; variable != B; variable += C) statement; 请问在 k 位存储系统中循环几次才会结束。
若在有限次内结束，则输出循环次数。否则输出死循环。
输入格式 多组数据，每组数据一行四个整数 A,B,C,k。
读入以 0 0 0 0 结束。
输出格式 若在有限次内结束，则输出循环次数。
否则输出 FOREVER。
数据范围 1≤k≤32, 0≤A,B,C<2k 输入样例：
3 3 2 16
3 7 2 16
7 3 ...
扩展欧几里得算法是欧几里得算法（又叫辗转相除法）的扩展。通常谈到最大公因子时, 我们都会提到一个非常基本的事实: 给予二整数 a 与 b, 必存在有整数 x 与 y 使得ax + by = gcd(a,b)。因此，有两个数a,b，对它们进行辗转相除法，可得它们的最大公约数；然后，收集辗转相除法中产生的式子，倒回去，可以得到ax+by=gcd(a,b)的一组整数特解。
以下是扩展欧几里得算法的python实现：
1.递归
#扩展欧几里得算法
def ext_gcd(a, b): ...
欧几里得算法和扩展的欧几里得算法C++递归实现
关于欧几里得算法的流程不再赘述，不清楚的可以搜得到。本篇主要通过C++代码利用递归的思想实现，参考书籍是《密码编码与信息安全:C++实践》。
1、欧几里得算法实现
欧几里得算法比较简单，主要用于求两个数(多项式)的最大公因数(式)，直接上代码。
#include <iostream>
using namespace std;
int Euclidean(int a, int b){if(b==0){return a;}else{return Euclidean(b, a%b);}
}2、扩...
正常的欧几里得算法1 int gcd(int a,int b){
2 return b==0?a:gcd(b,a%b);
3 }可以在O(n)的时间复杂度内，求出a和b两数的最大公约数。
而扩展欧几里得算法则可以在求出最大公约数的同时，求出两个数x，y，使得x*a+y*b=gcd(a,b)，用处就是可以用来求解线性同余方程（写在下边） 1 //推荐第二种写法2 #include<iostream>3 using namespace std;4 int exgcd1(int a,int b,int& x,int& y){5 if(b==0){6 x=1,y=0;7 ...
前置知识
斐蜀定理（贝祖定理）
写在前面
鸣谢：扩展欧几里得算法——exgcd
Q：啥叫扩展欧几里得啊
A：扩展欧几里得算法是用来在已知 \(a, b\) 求解一组 \(x, y\) ，使他们满足斐蜀等式： \(ax + by = \gcd(a, b) = d\)
尝试搞一下它
先考虑一下比较简单的特殊情况，如果 \(b = 0\)，那么 \(\gcd(a, b) = a\)，并显然存在一组解 \(x = 1, y = 0\)
对于一般情况，设 \(ax + by = \gcd(a, b)\)，
根据欧几里得算法， \(\gcd(a, b) = ...
数学太差要命了，本题的数学证明还需要复习
预备知识：裴蜀定理 a和b的最大公约数就是a和b能凑出来的最小的正整数
扩展欧几里得算法就是构造出来一种方式，使得对于任意的整数a和b，一定存在整数x和y，满足上式 1 #include <bits/stdc++.h>2 using namespace std;3 typedef long long ll;4 ll exgcd(ll a, ll b, int &x, int &y) {5 if (!b) {6 x = 1;7 y = 0;8 return a;9 }
10 ll d = exg...
文章目录问题引入拓展欧几里得算法求任意方程 ax + by = n 的一个整数解应用场合
问题引入
给出整数 a ， b ， n ，问方程 ax + by = n 什么时候有整数解？如何求出所有的整数解？有解的充分必要条件是 gcd(a,b) 整除 n简单解释一下，令 a = gcd(a,b) a’ ， b = gcd(a,b) b’ ,有 ax + by = gcd(a,b)(a’x+b’y) = n,如果 x ， y ，a’ , b’ 都是整数的话，那么 n 必须是 gcd(a,b) 的倍数才有解。例如 4x+6y = 8、2x+3y = 4 有整...
题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1576
思路：设定mod=9973，由于gcd(B,mod）=1，所以B对mod的逆元B是可求得，然后(A/B)%mod=(A*B)%mod=((A%mod)*B)%mod=(n*B)%mod;所以本题的关键就是要求B对mod的逆元。
代码如下： 1 #include<bits/stdc++.h>2 using namespace std;3 typedef unsigned int ui;4 typedef long long ll;5 typedef unsigned long long ull;6 #define pf printf7 #define mem(a,b) memset(a,b,s...
浅谈扩展欧几里得算法
一．算法简析扩展欧几里得算法（又称exgcd），是来求解形如下面格式方程的解。
ax + by = c其中a，b，c已经给出，x，y为待求解的变量。
扩欧算法规定，当 c%gcd(a,b)!=0的时候，上面方程不存在整数解。这个结论可以由贝祖定理推出:
即如果a、b是整数，那么一定存在整数x、y使得ax+by=gcd(a,b)当上面的方程有解时，我们可以一定得到一组特解。下面我们就要推导下求特解的过程。
二．算法推导首先，我们知道gcd...
扩展欧几里德算法
谁是欧几里德？自己百度去
先介绍什么叫做欧几里德算法
有两个数 a b，现在，我们要求 a b 的最大公约数，怎么求？枚举他们的因子？不现实，当 a b 很大的时候，枚举显得那么的nave ，那怎么做？
欧几里德有个十分又用的定理： gcd(a, b) = gcd(b , a%b) ，这样，我们就可以在几乎是 log 的时间复杂度里求解出来 a 和 b 的最大公约数了，这就是欧几里德算法，用 C++ 语言描述如下：
由于...
