acm数论之旅---扩展欧几里得算法

内容导读

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内容图文

度娘百科说：

首先， ax+by = gcd(a, b) 这个公式肯定有解 （( ????? )她说根据数论中的相关定理可以证明，反正我信了）

所以 ax+by = gcd(a, b) * k 也肯定有解 （废话，把x和y乘k倍就好了）

所以，这个公式我们写作ax+by = d，(gcd(a, b) | d)

gcd(a, b) | d，表示d能整除gcd，这个符号在数学上经常见

 

 

那么已知 a，b 求 一组解 x，y 满足 ax+by = gcd(a, b) 这个公式

 

 1 #include<cstdio>
 2 typedef long long LL;
 3 void extend_Eulid(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){
 4     if (!b) {d = a, x = 1, y = 0;}
 5     else{
 6         extend_Eulid(b, a % b, y, x, d);
 7         y -= x * (a / b);
 8     }
 9 }
10 int main(){
11     LL a, b, d, x, y;
12     while(~scanf("%lld%lld", &a, &b)){
13         extend_Eulid(a, b, x, y, d);
14         printf("%lld*a + %lld*b = %lld\n", x, y, d);
15     }
16 }

 

 

有些人喜欢极度简化，这是病，得治(,,? ? ?,,)比如在下

1 void ex_gcd(LL a, LL b, LL &d, LL &x, LL &y){
2     if(!b){d = a; x = 1; y = 0;}
3     else{ex_gcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a/b);}
4 } 

 

连名字都简化了。。。

 

 

在数论中，线性 同余方程是最基本的同余方程，“线性”表示方程的未知数次数是一次，即形如：

ax≡b (mod n)的方程。此方程有解当且仅当 b 能够被 a 与 n 的 最大公约数整除（记作 gcd(a,n) | b）。这时，如果 x0 是方程的一个解，那么所有的解可以表示为：

{x0+kn/d|(k∈z)}

其中 d 是a 与 n 的 最大公约数。在模 n 的完全剩余系 {0,1,…,n-1} 中，恰有 d 个解。

青蛙的约会
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Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 
Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。
Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"
Sample Input

1 2 3 4 5
Sample Output

4
https://blog.csdn.net/wust_zjx/article/details/46842021

https://blog.csdn.net/loi_dqs/article/details/49488851

2例子

编辑

* 在方程

3x ≡ 2 (mod 6)

中， d = gcd(3,6) = 3 ，3 不整除 2，因此方程无解。

* 在方程

5x ≡ 2 (mod 6)

中， d = gcd(5,6) = 1，1 整除 2，因此方程在{0,1,2,3,4,5} 中恰有一个解: x=4。

* 在方程

4x ≡ 2 (mod 6)

中， d = gcd(4,6) = 2，2 整除 2，因此方程在{0,1,2,3,4,5} 中恰有两个解: x=2 and x=5。

 

3求特殊解

编辑

对于线性 同余方程

ax ≡ b (mod n) (1)

若 d = gcd(a, n)，d 整除 b ，那么b/d为整数。由 裴蜀定理，存在整数对 (r,s) （可用 辗转相除法求得）使得 ar+sn=d，因此 x0=rb/d是方程 (1) 的一个解。其他的解都关于n/d与 x 同余。即x≡x0+(n/d)*t (mod n) (0≤t≤d-1)。

举例来说，方程

12x ≡ 20 (mod 28)

中 d = gcd(12,28) = 4 。注意到 4 = 12 *(-2)+28*1，因此 x0≡5*(-2)≡-10≡4(mod 7)是一个解。对模 28 来说，t=1,x≡4+(28/4)*1≡11 (mod 28)；t=2,x≡4+(28/4)*2≡18 (mod 28)；t=3,x≡4+(28/4)*3≡25 (mod 28) 。所有的解就是 {4,11,18,25} 。

4线性同余方程组

编辑

线性 同余方程组的求解可以分解为求若干个线性同余方程。比如，对于线性 同余方程组：

2x ≡ 2 (mod 6)

3x ≡ 2 (mod 7)

2x ≡ 4 (mod 8)

首先求解第一个方程，得到x ≡ 1 (mod 3)，于是令x = 3k + 1，第二个方程就变为：

9k ≡ ?1 (mod 7)

解得k ≡ 3 (mod 7)。于是，再令k = 7l + 3，第三个方程就可以化为：

42l ≡ ?16 (mod 8)

解出：l ≡ 0 (mod 4)，即 l = 4m。代入原来的表达式就有 x = 21(4m) + 10 = 84m + 10，即解为：

x ≡ 10 (mod 84)

对于一般情况下是否有解，以及解得情况，则需用到 数论中的中国剩余定理。

内容总结

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内容备注

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