最近学习了一下 最小生成树 算法。所谓最小生成树算法,就是给出一个连通图g[ maxn ][ maxn ], 找出这个连通图的边权和最小的生成图(树)。可以实现这个目的的算法,我叫它最小生成树算法。kruskal算法就是我学到的一种实现这种功能的算法。对于kruskal算法的描述以及简单的证明在刘汝佳第二版上已经说得够明白本题就是求 最小生成树 里面的 最大边权和最小边权 相差最小的最小生成树。#include<cstdio>
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给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树.1、克鲁斯卡尔算法方法:将图中边按其权值由小到大的次序顺序选取,若选边后不形成回路,则保留作为一条边,若形成回路则除去.依次选够(n-1)条边,即得最小生成树.(n为顶点数)克鲁斯卡尔法对于边特别多的情况,消耗时间比较多,不是很实用。2、普里姆算法 方法:从指定顶点开始将它加入集合中,然后将集合内的顶点与集合外的顶点所构成的所有边...
简介求最小生成树一共有两种算法,一个是就是本文所说的Kruskal算法,另一个就是Prime算法。在详细讲解Kruskal最小生成树算法之前,让我们先回顾一下什么是最小生成树。我们有一个带权值的图,我们要求找到一个所有生成树中具有最小权值的生成树。如下图所示,T是图G的生成树。但不是具有最小权值的生成树。我们可以把他们想象成一组岛屿和连接它们的可能的桥梁。当然修桥是非常昂贵和费时的,所以我们必须要知道建设什么样的桥梁去...
Dijkstra算法 Dijkstra算法是典型最短路算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解,但由于它遍历计算的节点很多,所以效率低。 Dijkstra算法是用来求任意两个顶点之间的最短路径。在该算法中,我们用邻接矩阵来存储图。在该程序中设置一个二维数组来存储任意两个顶点之间的边的权值。可以将任意一个图的信息通过键...
一、生成树的定义
生成树:一个 |V|个点的无向连通图中,取其中|V|-1条边,并连接所有的顶点,则为原图的一棵生成树。
树的属性:树是图的一种特殊形态。一个图G是树当且仅当以下任意一个条件成立:G有V-1条边,无圈;G有V-1条边,连通;任意两点只有唯一的简单路径;G连通,但任意删除一条边后不连通;二、最小生成树的定义
最小生成树:在一张带权的无向连通图中,各边权和为最小的一棵生成树即为最小生成树。
简单讲:找出连接所...
最小生成树简介
简单说就是在一个带权连通图(一般是无向图)里面生成一个树,使得所生成的树具有最小的权重之和,谓之最小生成树,这点很容易理解,因为我们在构建树的时候,不存在环,所以图的任意两个顶点之间最多存在一条边,所以到最后生成的树一定具备的特征是:删减了一部分原来图当中的edge,这个也就是我们要的结果:生成权重之和最小的树,也就是最小生成树。
最小生成树的两个算法Prime算法
Kruskal算法
克鲁斯卡尔算法:Kruskal算法是一种用来查找最小生成树的算法,由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪心算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是,Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。
基本思想:先构造一个只含 n 个顶点、而边集为空的子图,把子图中各个顶点看成各棵树上的根结点,之后,从网的边集 E 中选取一条权值最小的边,若该条边的两个顶点分属不同的树,...
一、拓扑排序
1、拓扑排序目标
对于有向无环图,拓扑排序的目标其实就是找出依赖关系的顺序。 上面那幅图的拓扑排序就是A B C D E F 或 A B D C E F。2、算法思路
先找到入度为0的顶点依次入队,每次从队头出队一个顶点(可以看成是从这幅图中删除),由此更新该顶点出度边终点的入度信息,一旦有新的入度为0的顶点就立刻将这个点入队,直到队列为空。由此出队的顺序其实就是拓扑排序的结果。3、注意点
怎...
最小生成树接下来是介绍最小生成树的内容。
什么是最小生成树?定义: 各边的代价之和最小的那棵生成树称为该连通网的最小代价生成树( Minimum Cost Spanning Tree ),简称最小生成树。构成最小生成树的算法有很多,其中多数的算法都是利用了最下生成树的一种性质:性质: 假设N=(V,E)是一个连通网,U是顶点集V的一个非空子集。若(u,v)是一条具有最小权值(或者说代价)的边,其中u∈U,v∈V-U,那么必定存在一颗包含边(u,v)的最小...
关于图的几个概念定义:连通图:在无向图中,若任意两个顶点vivi与vjvj都有路径相通,则称该无向图为连通图。
强连通图:在有向图中,若任意两个顶点vivi与vjvj都有路径相通,则称该有向图为强连通图。
连通网:在连通图中,若图的边具有一定的意义,每一条边都对应着一个数,称为权;权代表着连接连个顶点的代价,称这种连通图叫做连通网。
生成树:一个连通图的生成树是指一个连通子图,它含有图中全部n个顶点,但只有足以构成一...
基本概念
树(Tree)
如果一个无向连通图中不存在回路,则这种图称为树。
生成树 (Spanning Tree)
无向连通图G的一个子图如果是一颗包含G的所有顶点的树,则该子图称为G的生成树。
生成树是连通图的极小连通子图。这里所谓极小是指:若在树中任意增加一条边,则将出现一条回路;若去掉一条边,将会使之变成非连通图。
最小生成树
一个带权值的连通图。用$n-1$条边把$n$个顶点连接起来,且连接起来的权值最小。
应用场景
设想有9个...
主要思想
按照边的权重顺序(从小到大)处理它们,将边加入到最小生成树中,加入的边不会和已经加入的边构成环,直到树中V-1条边为止,这些一开始并不一定是互相连接的,但是后面会慢慢逐渐由一片森林组成一颗树,也就是图的最小生成树
定理: Kruskal算法能够计算任意加权连通图的最小生成树
证明: 因为下一条被加入的边不会与最小生成树中已经存在的边构成环,那么它就跨越了和树中顶点相邻的顶点组成的集合的补集所构成的一个切分...
我想在加权有向图上找到最小生成树(MST).我一直在尝试使用Chu-Liu/Edmond’s algorithm,我已经用Python实现了(下面的代码).可以在here找到一个简单明了的算法描述.我有两个问题.
> Edmond的算法是否能保证收敛于解决方案?
我担心删除一个循环会增加另一个循环.如果发生这种情况,算法将继续尝试永久删除循环.
我似乎找到了这种情况的例子.输入图如下所示(在代码中).该算法永远不会完成,因为它在周期[1,2]和[1,3]以及[5,4]和[5,6]之...
1.Kruskal算法
Kruskal算法基于贪心,因此它追求的是近似最优解,也就是说由Kruskal得出的生成树并不一定是最优解。
Kruskal算法求最小生成树的关键在于,每次选取图中权值最小(及贪心),并不会构成环的边,直到所有点都被囊括。一般,边的个数=点的个数-1。
如下无向图:
要找到最小生成树,克鲁斯卡尔算法的步骤如下:
2.Java实现
针对上述《算法导论》中的例子,有Java代码如下: 1 import java.util.ArrayList;2 import ...
`输入第一行连个数字n,m代表结点数和道路数
下面m行,每行输入三个数字t1,t2,t3,代表序号为t1的结点与序号为t2的结点之间的距离是t3
求最小生成树的长度miniTree`
Kruscal
核心思想是基于贪心策略,每次从路径中选择路径权值最小的一条边,并且每次都要判断这条边的两个结点的祖先是否都想同,如果不同(相同会出现环,故不能相同),则加入最小生成树集合中,直到加入的次数为n-1次,结束
解决方法建立一个路径类,包含三个属性(结...