交互设计算法基础（8）- Heap Sort

　　堆排序是一种树形选择排序，是对直接选择排序的有效改进。

　　堆的定义如下：具有n个元素的序列（k1,k2,...,kn),当且仅当满足时称之为堆。由堆的定义可以看出，堆顶元素（即第一个元素）必为最小项（小顶堆）。

　　若以一维数组存储一个堆，则堆对应一棵完全二叉树，且所有非叶结点的值均不大于(或不小于)其子女的值，根结点（堆顶元素）的值是最小(或最大)的。如：

　　(a)大顶堆序列：（96，83，27，38，11，09)

　　(b)小顶堆序列：（12，36，24，85，47，30，53，91）

       基本思想：初始时把要排序的n个数的序列看作是一棵顺序存储的二叉树（一维数组存储二叉树），调整它们的存储序，使之成为一个堆，将堆顶元素输出，得到n 个元素中最小(或最大)的元素，这时堆的根节点的数最小（或者最大）。然后对前面(n-1)个元素重新调整使之成为堆，输出堆顶元素，得到n 个元素中次小(或次大)的元素。依此类推，直到只有两个节点的堆，并对它们作交换，最后得到有n个节点的有序序列。称这个过程为堆排序。

　　时间复杂度分析：O(nlog(n))，堆排序是一种不稳定的排序算法。

　　因此，实现堆排序需解决两个问题：
　　1. 如何将n 个待排序的数建成堆?
　　2. 输出堆顶元素后，怎样调整剩余n-1 个元素，使其成为一个新堆?

　　首先讨论第二个问题：输出堆顶元素后，怎样对剩余n-1元素重新建成堆？

　　调整小顶堆的方法：
　　1）设有m 个元素的堆，输出堆顶元素后，剩下m-1 个元素。将堆底元素送入堆顶（（最后一个元素与堆顶进行交换），堆被破坏，其原因仅是根结点不满足堆的性质。
　　2）将根结点与左、右子树中较小元素的进行交换。
　　3）若与左子树交换：如果左子树堆被破坏，即左子树的根结点不满足堆的性质，则重复方法 （2）
　　4）若与右子树交换，如果右子树堆被破坏，即右子树的根结点不满足堆的性质。则重复方法 （2）
　　5）继续对不满足堆性质的子树进行上述交换操作，直到叶子结点，堆被建成。
　　称这个自根结点到叶子结点的调整过程为筛选。

　　再讨论第一个问题，如何将n 个待排序元素初始建堆？

　　建堆方法：对初始序列建堆的过程，就是一个反复进行筛选的过程。
　　1）n 个结点的完全二叉树，则最后一个结点是第n/2个结点的子树。
　　2）筛选从第n/2个结点为根的子树开始，该子树成为堆。
　　3）之后向前依次对各结点为根的子树进行筛选，使之成为堆，直到根结点。

堆排序：

            void HeapSort(int a[], int n) {
  //初始化堆  HeapBuilding(a, n);
  //从最后一个节点开始进行调整for (int i=n-1; i>0; i--) {
    //交换堆顶元素和最后一个元素int temp = a[0];
    a[0] = a[i];
    a[i] = temp;
    //每次交换后都要进行调整
    HeapAdjusting(a, 0, i);
  }
}

建堆：

            void HeapBuilding(int a[], int n) {
  //从最后一个有孩子节点的位置开始调整，最后一个有孩子节点的位置为(n-1)/2for (int i=(n-1)/2; i>=0; i--)
    HeapAdjusting(a, i, n);
}

调整堆：

            void HeapAdjusting(int a[], int root, int n) {
  int temp = a[root];
  int child = 2*root+1; //左孩子的位置while (child<n) {
    //找到孩子节点中较小的那个if (child+1<n && a[child+1]<a[child])
      child++;
    //如果较大的孩子节点小于父节点，用较小的子节点替换父节点，并重新设置下一个需要调整的父节点和子节点。if (a[root]>a[child]) {
      a[root] = a[child];
      root = child;
      child = 2*root+1;
    } elsebreak;
    //将调整前父节点的值赋给调整后的位置。
    a[root] = temp;
  }
}

原文：https://www.cnblogs.com/x5115x/p/12637940.html