最小生成树 Kruskal算法

内容导读

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内容图文

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<SPAN style=‘font-family: "comic sans ms", sans-serif;‘>1.概览

<SPAN style=‘font-family: "comic sans ms", sans-serif;‘>Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。

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<SPAN style=‘font-family: "comic sans ms", sans-serif;‘>2.算法简单描述

<SPAN style=‘font-family: "comic sans ms", sans-serif;‘>1).记Graph中有v个顶点，e个边

<SPAN style=‘font-family: "comic sans ms", sans-serif;‘>2).新建图Graph_new，Graph_new中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边

<SPAN style=‘font-family: "comic sans ms", sans-serif;‘>3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序

<SPAN style=‘font-family: "comic sans ms", sans-serif;‘>4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中

<SPAN style=‘font-family: "comic sans ms", sans-serif;‘>                if 这条边连接的两个节点于图Graph_new中不在同一个连通分量中

<SPAN style=‘font-family: "comic sans ms", sans-serif;‘>                                         添加这条边到图Graph_new中

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<SPAN style=‘font-family: "comic sans ms", sans-serif;‘>图例描述：

<SPAN style=‘font-family: "comic sans ms", sans-serif;‘>首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边 

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<SPAN style=‘font-family: "comic sans ms", sans-serif;‘>将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了下图

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<SPAN style=‘font-family: "comic sans ms", sans-serif;‘> 在剩下的图中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5

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<SPAN style=‘line-height: 1.5; font-family: "comic sans ms", sans-serif;‘>依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。

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<SPAN style=‘font-family: "comic sans ms", sans-serif;‘>下面继续选择， BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。

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<SPAN style=‘font-family: "comic sans ms", sans-serif;‘>3.简单证明Kruskal算法

<SPAN style=‘font-family: "comic sans ms", sans-serif;‘> 1 typedef struct 2{        
 3char vertex[VertexNum];                                //顶点表          4int edges[VertexNum][VertexNum];                       //邻接矩阵,可看做边表          5int n,e;                                               //图中当前的顶点数和边数          6}MGraph; 
 7 8 typedef struct node  
 9{  
10int u;                                                 //边的起始顶点   11int v;                                                 //边的终止顶点   12int w;                                                 //边的权值   13}Edge; 
1415void kruskal(MGraph G)  
16{  
17int i,j,u1,v1,sn1,sn2,k;  
18int vset[VertexNum];                                    //辅助数组，判定两个顶点是否连通   19     Edge E[EdgeNum];                                         //存放所有的边   20     k=0;                                                    //E数组的下标从0开始   21for (i=0;i<G.n;i++)  
22    {  
23for (j=0;j<G.n;j++)  
24        {  
25if (G.edges[i][j]!=0 && G.edges[i][j]!=INF)  
26            {  
27                 E[k].u=i;  
28                 E[k].v=j;  
29                 E[k].w=G.edges[i][j];  
30                 k++;  
31            }  
32        }  
33    }     
34     heapsort(E,k,sizeof(E[0]));                            //堆排序，按权值从小到大排列       35for (i=0;i<G.n;i++)                                    //初始化辅助数组   36    {  
37         vset[i]=i;  
38    }  
39     k=1;                                                   //生成的边数，最后要刚好为总边数   40     j=0;                                                   //E中的下标   41while (k<G.n)  
42    {   
43         sn1=vset[E[j].u];  
44         sn2=vset[E[j].v];                                  //得到两顶点属于的集合编号   45if (sn1!=sn2)                                      //不在同一集合编号内的话，把边加入最小生成树   46        {
47             printf("%d ---> %d, %d",E[j].u,E[j].v,E[j].w);       
48             k++;  
49for (i=0;i<G.n;i++)  
50            {  
51if (vset[i]==sn2)  
52                {  
53                     vset[i]=sn1;  
54                }  
55            }             
56        }  
57         j++;  
58    }  
59 }  

原文：http://www.cnblogs.com/kunhu/p/3704207.html

内容总结

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