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数据结构与算法(Python)
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![数据结构与算法(Python)](/upload/InfoBanner/zyjiaocheng/639/8452accd2af248da9a9b1214b2e731bb.jpg)
常看兵法,便可做到胸有成竹,有时会事半功倍!同样,如果我们常看数据结构与算法,我们写程序时也能游刃有余、明察秋毫,遇到问题时亦能入木三分、迎刃而解。
算法是独立存在的一种解决问题的方法和思想。对于算法而言,实现的语言并不重要,重要的是思想。算法可以有不同的语言描述实现版本(如C描述、C++描述、Python描述等。
算法的五大特性:
- 输入: 算法具有0个或多个输入
- 输出: 算法至少有1个或多个输出
- 有穷性: 算法在有限的步骤之后会自动结束而不会无限循环,并且每一个步骤可以在接受的时间内完成
- 确定性:算法中的每一步都有确定的含义,不会出现二义性
- 可行性:算法的每一步都是可行的,也就是说每一步都能够执行有限的次数完成
1.1算法可用性对比:
三重循环:
import time start_time = time.time() for a in range(0, 1001): for b in range(0, 1001): for c in range(0, 1001): if a**2 + b**2 == c**2 and a+b+c == 1000: print("a, b, c: %d, %d, %d" % (a, b, c)) end_time = time.time() print("elapsed: %f" % (end_time - start_time)) print("complete!") # 运行结果 a, b, c: 0, 500, 500 a, b, c: 200, 375, 425 a, b, c: 375, 200, 425 a, b, c: 500, 0, 500 elapsed: 214.583347 complete!
二重循环:
import time start_time = time.time() for a in range(0, 1001): for b in range(0, 1001-a): c = 1000 - a - b if a**2 + b**2 == c**2: print("a, b, c: %d, %d, %d" % (a, b, c)) end_time = time.time() print("elapsed: %f" % (end_time - start_time)) print("complete!") # 运行结果 a, b, c: 0, 500, 500 a, b, c: 200, 375, 425 a, b, c: 375, 200, 425 a, b, c: 500, 0, 500 elapsed: 0.593708 complete!
求同一问题,算法一(三重循环)运行的时间:214.583秒;算法二(二重循环)运行的时间:0.1828秒;
1.2算法效率衡量
单纯依靠运行的时间来比较算法的优劣并不一定是客观准确的!程序的运行离不开计算机环境(包括硬件和操作系统),这些客观原因会影响程序运行的速度并反应在程序的执行时间上。
时间复杂度:最优时间复杂度、最坏时间复杂度、平均时间复杂度。我们主要关注算法的最坏情况,亦即最坏时间复杂度
基本计算规则:
- 基本操作,即只有常数项,认为其时间复杂度为O(1)
- 顺序结构,时间复杂度按加法进行计算
- 循环结构,时间复杂度按乘法进行计算
- 分支结构,时间复杂度取最大值
- 判断一个算法的效率时,往往只需要关注操作数量的最高次项,其它次要项和常数项可以忽略
- 在没有特殊说明时,我们所分析的算法的时间复杂度都是指最坏时间复杂度
1.3算法分析
# 第一次尝试的算法核心部分 for a in range(0, 1001): for b in range(0, 1001): for c in range(0, 1001): if a**2 + b**2 == c**2 and a+b+c == 1000: print("a, b, c: %d, %d, %d" % (a, b, c))
时间复杂度:T(n) = O(n*n*n) = O(n3)
# 第二次尝试的算法核心部分 for a in range(0, 1001): for b in range(0, 1001-a): c = 1000 - a - b if a**2 + b**2 == c**2: print("a, b, c: %d, %d, %d" % (a, b, c))
时间复杂度:T(n) = O(n*n*(1+1)) = O(n*n) = O(n2)
由此可见,我们尝试的第二种算法要比第一种算法的时间复杂度好多的。
1.4常见时间复杂度
执行次数函数举例 |
阶 |
非正式术语 |
12 |
O(1) |
常数阶 |
2n+3 |
O(n) |
线性阶 |
3n2+2n+1 |
O(n2) |
平方阶 |
5log2n+20 |
O(logn) |
对数阶 |
2n+3nlog2n+19 |
O(nlogn) |
nlogn阶 |
6n3+2n2+3n+4 |
O(n3) |
立方阶 |
2n |
O(2n) |
指数阶 |
注意,经常将log2n(以2为底的对数)简写成logn
常见时间复杂度之间的关系
所消耗的时间从小到大
O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n2) < O(n3) < O(2n) < O(n!) < O(nn)
1.5数据结构
数据是一个抽象的概念,将其进行分类后得到程序设计语言中的基本类型。如:int,float,char等。数据元素之间不是独立的,存在特定的关系,这些关系便是结构。数据结构指数据对象中数据元素之间的关系,列表和字典就是Python内建帮我们封装好的两种数据结构。Python系统里面没有直接定义,需要我们自己去定义实现这些数据的组织方式,这些称为Python的扩展数据结构,比如栈,队列等。
算法与数据结构的区别:
- 数据结构只是静态的描述了数据元素之间的关系。
- 高效的程序需要在数据结构的基础上设计和选择算法。
- 程序 = 数据结构 + 算法
- 总结:算法是为了解决实际问题而设计的,数据结构是算法需要处理的问题载体
抽象数据类型(Abstract Data Type):
抽象数据类型(ADT)的含义是指一个数学模型以及定义在此数学模型上的一组操作。即把数据类型和数据类型上的运算捆在一起,进行封装。引入抽象数据类型的目的是把数据类型的表示和数据类型上运算的实现与这些数据类型和运算在程序中的引用隔开,使它们相互独立。
最常用的数据运算有五种:插入、删除、修改、查找、排序;
2、顺序表
一个线性表是某类元素的一个集合,还记录着元素之间的一种顺序关系。线性表是最基本的数据结构之一,在实际程序中应用非常广泛,它还经常被用作更复杂的数据结构的实现基础。根据线性表的实际存储方式,分为两种实现模型:
顺序表:将元素顺序地存放在一块连续的存储区里,元素间的顺序关系由它们的存储顺序自然表示。
链表:将元素存放在通过链接构造起来的一系列存储块中。
2.1 Python中的顺序表
Python中的list和tuple两种类型采用了顺序表的实现技术,具有顺序表的所有性质。
tuple是不可变类型,即不变的顺序表,因此不支持改变其内部状态的任何操作,而其他方面,则与list的性质类似。
2.2 list的基本实现技术
Python标准类型list就是一种元素个数可变的线性表,可以加入和删除元素,并在各种操作中维持已有元素的顺序(即保序),而且还具有以下行为特征:
- 基于下标(位置)的高效元素访问和更新,时间复杂度应该是O(1);为满足该特征,应该采用顺序表技术,表中元素保存在一块连续的存储区中。
- 允许任意加入元素,而且在不断加入元素的过程中,表对象的标识(函数id得到的值)不变。为满足该特征,就必须能更换元素存储区,并且为保证更换存储区时list对象的标识id不变,只能采用分离式实现技术。
在Python的官方实现中,list就是一种采用分离式技术实现的动态顺序表。这就是为什么用list.append(x) (或 list.insert(len(list), x),即尾部插入)比在指定位置插入元素效率高的原因。
在Python的官方实现中,list实现采用了如下的策略:在建立空表(或者很小的表)时,系统分配一块能容纳8个元素的存储区;在执行插入操作(insert或append)时,如果元素存储区满就换一块4倍大的存储区。但如果此时的表已经很大(目前的阀值为50000),则改变策略,采用加一倍的方法。引入这种改变策略的方式,是为了避免出现过多空闲的存储位置。
3、链表
为什么链表:顺序表的构建需要预先知道数据大小来申请连续的存储空间,而在进行扩充时又需要进行数据的搬迁,所以使用起来并不是很灵活。链表结构可以充分利用计算机内存空间,实现灵活的内存动态管理。
定义:链表(Linked list)是一种常见的基础数据结构,是一种线性表,但是不像顺序表一样连续存储数据,而是在每一个节点(数据存储单元)里存放下一个节点的位置信息(即地址)。
3.1 单向链表
单向链表也叫单链表,是链表中最简单的一种形式,它的每个节点包含两个域,一个信息域(元素域)和一个链接域。这个链接指向链表中的下一个节点,而最后一个节点的链接域则指向一个空值。
- 表元素域elem用来存放具体的数据。
- 链接域next用来存放下一个节点的位置(python中的标识)
- 变量p指向链表的头节点(首节点)的位置,从p出发能找到表中的任意节点。
节点实现:
class SingleNode(object): """单链表的结点""" def __init__(self,item): # _item存放数据元素 self.item = item # _next是下一个节点的标识 self.next = None
3.2 单向循环链表
单链表的一个变形是单向循环链表,链表中最后一个节点的next域不再为None,而是指向链表的头节点。
3.3 双向链表
一种更复杂的链表是“双向链表”或“双面链表”。每个节点有两个链接:一个指向前一个节点,当此节点为第一个节点时,指向空值;而另一个指向下一个节点,当此节点为最后一个节点时,指向空值。
4、栈
栈(stack),有些地方称为堆栈,是一种容器,可存入数据元素、访问元素、删除元素,它的特点在于只能允许在容器的一端(称为栈顶端指标,英语:top)进行加入数据(英语:push)和输出数据(英语:pop)的运算。没有了位置概念,保证任何时候可以访问、删除的元素都是此前最后存入的那个元素,确定了一种默认的访问顺序。
由于栈数据结构只允许在一端进行操作,因而按照后进先出(LIFO, Last In First Out)的原理运作。
栈结构实现:栈可以用顺序表实现,也可以用链表实现。
5、队列
队列(queue)是只允许在一端进行插入操作,而在另一端进行删除操作的线性表。
队列是一种先进先出的(First In First Out)的线性表,简称FIFO。允许插入的一端为队尾,允许删除的一端为队头。队列不允许在中间部位进行操作!假设队列是q=(a1,a2,……,an),那么a1就是队头元素,而an是队尾元素。这样我们就可以删除时,总是从a1开始,而插入时,总是在队列最后。这也比较符合我们通常生活中的习惯,排在第一个的优先出列,最后来的当然排在队伍最后。
队列的实现:同栈一样,队列也可以用顺序表或者链表实现。
5.1双端队列
双端队列(deque,全名double-ended queue),是一种具有队列和栈的性质的数据结构。
双端队列中的元素可以从两端弹出,其限定插入和删除操作在表的两端进行。双端队列可以在队列任意一端入队和出队。
6、排序与搜索
排序算法(英语:Sorting algorithm)是一种能将一串数据依照特定顺序进行排列的一种算法。
……
……
……
7、树与树算法
树(英语:tree)是一种抽象数据类型(ADT)或是实作这种抽象数据类型的数据结构,用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n(n>=1)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。它具有以下的特点:
- 每个节点有零个或多个子节点;
- 没有父节点的节点称为根节点;
- 每一个非根节点有且只有一个父节点;
- 除了根节点外,每个子节点可以分为多个不相交的子树;
比如说:
7.1树的术语
- 节点的度:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度;
- 树的度:一棵树中,最大的节点的度称为树的度;
- 叶节点或终端节点:度为零的节点;
- 父亲节点或父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点;
- 孩子节点或子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点;
- 兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点;
- 节点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推;
- 树的高度或深度:树中节点的最大层次;
- 堂兄弟节点:父节点在同一层的节点互为堂兄弟;
- 节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;
- 子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
- 森林:由m(m>=0)棵互不相交的树的集合称为森林;
7.2树的种类
- 无序树:树中任意节点的子节点之间没有顺序关系,这种树称为无序树,也称为自由树;
- 有序树:树中任意节点的子节点之间有顺序关系,这种树称为有序树;
- 二叉树:每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树;
- 完全二叉树:对于一颗二叉树,假设其深度为d(d>1)。除了第d层外,其它各层的节点数目均已达最大值,且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列,这样的二叉树被称为完全二叉树,其中满二叉树的定义是所有叶节点都在最底层的完全二叉树;
- 平衡二叉树(AVL树):当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树;
- 排序二叉树(二叉查找树(英语:Binary Search Tree),也称二叉搜索树、有序二叉树);
- 霍夫曼树(用于信息编码):带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树;
- B树:一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树,能够保持数据有序,拥有多余两个子树。
7.3树的存储与表示
顺序存储:将数据结构存储在固定的数组中,然在遍历速度上有一定的优势,但因所占空间比较大,是非主流二叉树。二叉树通常以链式存储。
链式存储:
由于对节点的个数无法掌握,常见树的存储表示都转换成二叉树进行处理,子节点个数最多为2
7.4常见的一些树的应用场景
- xml,html等,那么编写这些东西的解析器的时候,不可避免用到树
- 路由协议就是使用了树的算法
- mysql数据库索引
- 文件系统的目录结构
- 所以很多经典的AI算法其实都是树搜索,此外机器学习中的decision tree也是树结构
7.5 二叉树
二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”(left subtree)和“右子树”(right subtree)
二叉树的性质(特性):
性质1: 在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点(i>0)
性质2: 深度为k的二叉树至多有2^k - 1个结点(k>0)
性质3: 对于任意一棵二叉树,如果其叶结点数为N0,而度数为2的结点总数为N2,则N0=N2+1;
性质4: 具有n个结点的完全二叉树的深度必为 log2(n+1)
性质5: 对完全二叉树,若从上至下、从左至右编号,则编号为i 的结点,其左孩子编号必为2i,其右孩子编号必为2i+1;其双亲的编号必为i/2(i=1 时为根,除外)
完全二叉树——若设二叉树的高度为h,除第 h 层外,其它各层 (1~h-1) 的结点数都达到最大个数,第h层有叶子结点,并且叶子结点都是从左到右依次排布,这就是完全二叉树。
满二叉树——除了叶结点外每一个结点都有左右子叶且叶子结点都处在最底层的二叉树。
7.6 二叉树的遍历
树的遍历是树的一种重要的运算。所谓遍历是指对树中所有结点的信息的访问,即依次对树中每个结点访问一次且仅访问一次,我们把这种对所有节点的访问称为遍历(traversal)。那么树的两种重要的遍历模式是深度优先遍历和广度优先遍历,深度优先一般用递归,广度优先一般用队列。一般情况下能用递归实现的算法大部分也能用堆栈来实现。
内容总结
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