扩展欧几里得算法 已知整数a、b，扩展欧几里得算法可以在求得a、b的最大公约数的同时，能找到整数x、y，使它们满足贝祖等式：ax+by=gcd(a,b) 为什么一定存在贝祖等式呢，裴蜀定理如下： 设存在x，y使ax+by=d，d是ax+by取值中的最小正整数，d≠1。再设am+bn=e，则e≥d .若d不整除e，对e做带余除法.必定存在p，r使e=pd+r.r<d则r=e-pd=（m-px）a+（n-py）b.存在整数m-px，n-py使ax+by=r<d，与d的最小性矛盾。所以d整除e.令m=1，n=0，则...
欧几里得算法 描述 辗转相除法，又被称为欧几里德（Euclidean）算法， 是求最大公约数的算法。 当然也可以求最小公倍数。 可以使用递归实现，也可以使用循环实现。 代码实现 /*** @program: algorithm_code* @description: 欧几里得算法* @author: YangHang* @create: 2019-09-09 19:26**/public class EuclideanAlgorithm {public static void main(String[] args) {int i = 44, j = 168;System.out.println(euclideanAlgorithm2(...
题目描述两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观...
接上一节方法的练习，做了一些经典的数学例子： 1.斐波那契数列： Fibonacci数列是是个特殊的数列，数列的规则是这样的： F(0)=0; F(1)=1; F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=2) 从公式里就很明显看得出来这个数列很适合用递归来实现，递归的判定条件就是括号里的参数是否小于2；public static long Fib(int k){switch(k){case 0:return 0;case 1:case 2:return 1;default:return (Fib(k-1)+Fib(k-2));}}运行结果:2.欧几里得算法求解两个数的最...
▎裴蜀定理这个定理很简洁，就是关于x，y（都是整数）的不定方程在下面的情况下：必定有解。这只是个前置知识，就不证明了（主要是小编太菜）。 ▎不定方程考虑方程ax+by=c的解的情况：若c=gcd（a，b），那么依照裴蜀定理有解； 若c=k*gcd（a，b），先两边同除k，就会转化成标准形式，有解； 若c与gcd（a，b）互质，那么无解；所以问题就是：如何解决，只要解决了这个问题，所有解的情况就解决了。 ▎问题解决现在我们考虑怎么让这...
欧几里得算法（辗转相除法） 用来求解最大公约数1 int gcd(int a,int b){ 2 return b ? gcd(b,a%b) : a; 3 }在 #include<algorithm> 中也可以直接调用 __gcd(a,b) 拓展欧几里得算法 求解不定方程： 引理：存在 x , y 使得 gcd(a,b)=ax+b 1 typedef long long ll;2 3 ll exgcd(ll a,ll b)4 {5 if(b){6 ll r=exgcd(b,a%b);7 ll k=x;8 x=y;9 y=k-a/b*y; 10 return r; 11 }...
对于求和式 $f(a,b,c,n)=\sum_{i=0}^n \lfloor \frac{ai+b}{c} \rfloor$当 $a \geq c$ 或 $b \geq c$ 时，设 $a=a \; mod \; c$，$b=b \; mod \; c$，有 $$\begin{align*} f(a,b,c,n) = & \sum_{i=0}^n \; \lfloor \frac{ai+b}{c} \rfloor \\ = & \sum_{i=0}^n \; \lfloor \frac{ai+b}{c} \rfloor + \lfloor \frac{a}{c} \rfloor \times i + \lfloor \frac{b}{c} \rfloor \\ = & \; f(a,b,c,n) + \frac{n(n+1)}{2} \times \lfloor ...
转洛谷P1208同余方程 -> (https://www.luogu.org/problemnew/show/P1082) 这就是一个有一点小弯的扩展欧几里得的模板题根据 ax ≡ 1( mod b) 这个方程你应该化简成ax - by 1 #include<bits/stdc++.h>2 using namespace std;3 #define ll long long int4 ll exgcd(ll m, ll n, ll & x, ll & y)5 {6 if(n==0)7 {8 x=1;9 y=0; 10 return m; 11 } 12 else 13 { 14 ll r=exgcd(n...
欧几里得算法（gcd） 重新看了一下简单的gcd算法，有了一些更深的理解方式。 概括的说，gcd算法其实就是连续进行带余除法直到余数为零。 举个例子，求（72，30）， 我们知道（a+kb,b)=(a,b)=(b,a) 于是，（72，30）=（30*2+12，30）=（30，12）=（12*2+6，12）=（12，6）=（6*2，6）=（6，0） 我们知道，一个正整数与0的最大公约数为这个正整数本身，于是我们就将（72，30）这个问题转化成了（6，0），gcd为6显而易见。
_______________________我不知道将去何方，但我已经在路上。（下取整！） Summary: codes:#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; int a,b,d,x,y; int exgcd(int a,int b,int& x,int& y) {if(b==0) {x=1;y=0;return a;}int t=exgcd(b,a%b,x,y);int x0=x;int y0=y;x=y0;y=x0-(a/b)*y0;return t; }int main() {while(cin>>a>>b>>d && a && b && d){int t=__gcd(a,b);a/=t;b/=t;d/=t;exgcd(a,b,x,y);x=d*...
这个算法还是有点意思的，需要一些思考量和理解。 如何理解？ 欧几里得算法没扩展之前，计算的两个数的最大公约数，比如计算144和24的最大公约数，计算的过程如下： 最开始：144 24 第一次：24 144 % 24 即 24 0 发现直接整数了，说明24就是144的公约数，所以计算结果就是：24 如果用a，b来表示，变为一般形式的话： 给定两个数（a, b），现在想计算两者的最大公约数，那么可以那b来模a，如果结果为0，那说明b就是两者的最大公约数...
概念介绍： 用于求解：AX+BY = gcd（A,B）的解 具体过程： ①预先的结论：对于AX+BY = 1，如果A,B互质，该方程X,Y一定有解。 （1）证明： 两边同时%A，得到 BY%A = 1%A 我们先看Y，Y的取值共有这么几类：n*Y+0，n*Y+1，n*Y+2......n*Y+A-1 现在证明此时BY的取值也有这么几类：我们不管n*Y，我们只管0*B，1*B，2*B...（A-1）*B 假设任取两个系数分别为m，n（0<m，n<A） 我们只需证明 （m*B-n*B）！=整数倍的a 即可证明任意两个BY的...
欧几里得算法（gcd）： ??又名辗转相除法，是求最大公约数的算法。辗转相除法基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数。两个数的最大公约数通常写成 gcd(a, b)。 例如，计算a = 1071和b = 462的最大公约数的过程如下： ??从1071中不断减去462直到小于462（可以减2次，即商q0 = 2），余数是147： 1071 = 2 462 + 147. 然后从462中不断减去147直到小于147（可以减3次，即q1 = 3），余数是21： 46...
类欧几里得算法 参考博客 我们要求下面的函数： \[ F(a,b,c,n)=\sum_{i=0}^n\lfloor\frac{a*i+b}{c}\rfloor \] 我们的方法是分两类情况递归下去求解。 边界条件：\(a=0\)是，\(F=(n+1)\lfloor \frac{b}{c} \rfloor\)。 1.\(a\geq c\)或\(b\geq c\)： 首先我们有如下的变换： \[ \begin{align} \lfloor\frac{a*i+b}{c} \rfloor&=\lfloor\frac{a*i+b\bmod c}{c} \rfloor +\lfloor\frac{b}{c} \rfloor \&=\lfloor\frac{(a*i) \bmod c+...
数学是oi的重要基础，所以说数论在oi中占据了非常重要的地位，因此，学好数学，对于一个oier来说也是非常重要的。 oi中的数学，其实也就和数竞并没有什么区别。 欧几里得法辗转相除法求最大公约数 我们可以证明gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，也就是我国古代数学智慧的结晶，更相损减术。并且一直递归下去，直到b的值为零，最大公约数值即为a。在这里就不给出详细证明了，大家可以代几个数据去验证它一下。谁叫我数学太菜。 代码如下 int GC...