斐波那契额数列--算法

假如面试官让你编写求斐波那契数列的代码时，是不是心中暗喜?不就是递归么，早就会了。如果真这么想，那就危险了。

递归解法

递归，在数学与计算机科学中，是指在函数的定义中使用函数自身的方法。
斐波那契数列的计算表达式很简单：

F(n)?=?n;?n?=?0,1
F(n)?=?F(n-1)?+?F(n-2),n?>=?2;

因此，我们能很快根据表达式写出递归版的代码：

/*fibo.c*/
#include?<stdio.h>
#include?<stdlib.h>
/*求斐波那契数列递归版*/
unsigned?long?fibo(unsigned?long?int?n)
{
????if(n?<=?1)
????????return?n;
????else?
????????return?fibo(n-1)?+?fibo(n-2);
}
int?main(int?argc,char?*argv[])
{
????if(1?>=?argc)
????{
???????printf("usage:./fibo?num ");
???????return?-1;
????}
????unsigned?long??n?=?atoi(argv[1]);
????unsigned?long??fiboNum?=?fibo(n);
????printf("the?%lu?result?is?%lu ",n,fiboNum);
????return?0;
}

关键代码只有4行。简洁明了，一气呵成。
编译：

gcc?-o?fibo?fibo.c

运行计算第5个斐波那契数：

$?time?./fibo?5
the?5?result?is?5

real????0m0.001s
user????0m0.001s
sys????0m0.000s

看起来并没有什么不妥，运行时间也很短。
继续计算第50个斐波那契数列：

$?time?./fibo?50
the?50?result?is?12586269025

real????1m41.655s
user????1m41.524s
sys????0m0.076s

计算第50个斐波那契数的时候，竟然将近两多钟！

递归分析

为什么计算第50个的时候竟然需要1分多钟。我们仔细分析我们的递归算法，就会发现问题，当我们计算fibo(5)的时候，是下面这样的：

?????????????????????????|--F(1)
??????????????????|--F(2)|
???????????|--F(3)|??????|--F(0)
???????????|??????|
????|--F(4)|??????|--F(1)
????|??????|??????
????|??????|??????|--F(1)
????|??????|--F(2)|
????|?????????????|--F(0)
F(5)|?????????????
????|?????????????|--F(1)
????|??????|--F(2)|
????|??????|??????|--F(0)
????|--F(3)|
???????????|
???????????|--F(1)

为了计算fibo(5)，需要计算fibo(3)，fibo(4)；而为了计算fibo(4)，需要计算fibo(2)，fibo(3)……最终为了得到fibo(5)的结果，fibo(0)被计算了3次，fibo(1)被计算了5次，fibo(2)被计算了2次。可以看到，它的计算次数几乎是指数级的！

因此，虽然递归算法简洁，但是在这个问题中，它的时间复杂度却是难以接受的。除此之外，递归函数调用的越来越深，它们在不断入栈却迟迟不出栈，空间需求越来越大，虽然访问速度高，但大小是有限的，最终可能导致栈溢出。
在linux中，我们可以通过下面的命令查看栈空间的软限制：

$?ulimit?-s
8192

可以看到，默认栈空间大小只有8M。一般来说，8M的栈空间对于一般程序完全足够。如果8M的栈空间不够使用，那么就需要重新审视你的代码设计了。

递归改进版

既然我们知道最初版本的递归存在大量的重复计算，那么我们完全可以考虑将已经计算的值保存起来，从而避免重复计算，该版本代码实现如下：

/*fibo0.c*/
#include?<stdio.h>
#include?<stdlib.h>
/*求斐波那契数列，避免重复计算版本*/
unsigned?long?fiboProcess(unsigned?long?*array,unsigned?long?n)
{
????if(n?<?2)
????????return?n;
????else
????{
????????/*递归保存值*/
????????array[n]?=?fiboProcess(array,n-1)?+?array[n-2];
????????return?array[n];
????}
}

unsigned?long??fibo(unsigned?long??n)
{
????if(n?<=?1)
????????return?n;
????unsigned?long?ret?=?0;
????/*申请数组用于保存已经计算过的内容*/
????unsigned?long?*array?=?(unsigned?long*)calloc(n+1,sizeof(unsigned?long));
????if(NULL?==?array)
????{
????????return?-1;
????}
????array[1]?=?1;
????ret?=?fiboProcess(array,n);
????free(array);
????array?=?NULL;
????return?ret;
}
/**main函数部分与fibo.c相同，这里省略*/

效率如何呢？

$?gcc?-o?fibo0?fibo0.c
$?time?./fibo0?50
the?50?result?is?12586269025

real????0m0.002s
user????0m0.000s
sys????0m0.002s

可见其效率还是不错的，时间复杂度为O(n)。但是特别注意的是，这种改进版的递归，虽然避免了重复计算，但是调用链仍然比较长。

迭代解法

既然递归法不够优雅，我们换一种方法。如果不用计算机计算，让你去算第n个斐波那契数，你会怎么做呢？我想最简单直接的方法应该是：知道第一个和第二个后，计算第三个；知道第二个和第三个后，计算第四个，以此类推。最终可以得到我们需要的结果。这种思路，没有冗余的计算。基于这个思路，我们的C语言实现如下：

/*fibo1.c*/
#include?<stdio.h>
#include?<stdlib.h>
/*求斐波那契数列迭代版*/
unsigned?long??fibo(unsigned?long??n)
{
????unsigned?long??preVal?=?1;
????unsigned?long??prePreVal?=?0;
????if(n?<=?2)
????????return?n;
????unsigned?long??loop?=?1;
????unsigned?long??returnVal?=?0;
????while(loop?<?n)
????{
????????returnVal?=?preVal?+prePreVal;
????????/*更新记录结果*/
????????prePreVal?=?preVal;
????????preVal?=?returnVal;
????????loop++;
????}
????return?returnVal;
}
/**main函数部分与fibo.c相同，这里省略*/

编译并计算第50个斐波那契数：

$?gcc?-o?fibo1?fibo1.c
$?time?./fibo1?50
the?50?result?is?12586269025

real????0m0.002s
user????0m0.000s
sys????0m0.002s

可以看到，计算第50个斐波那契数只需要0.002s！时间复杂度为O(n)。

尾递归解法

同样的思路，但是采用尾递归的方法来计算。要计算第n个斐波那契数，我们可以先计算第一个，第二个，如果未达到n，则继续递归计算，尾递归C语言实现如下：

/*fibo2.c*/
#include?<stdio.h>
#include?<stdlib.h>
/*求斐波那契数列尾递归版*/
unsigned?long?fiboProcess(unsigned?long?n,unsigned?long??prePreVal,unsigned?long??preVal,unsigned?long?begin)
{
????/*如果已经计算到我们需要计算的，则返回*/
????if(n?==?begin)
????????return?preVal+prePreVal;
????else
????{
????????begin++;
????????return?fiboProcess(n,preVal,prePreVal+preVal,begin);
????}
}

unsigned?long??fibo(unsigned?long??n)
{
????if(n?<=?1)
????????return?n;
????else?
????????return?fiboProcess(n,0,1,2);
}

/**main函数部分与fibo.c相同，这里省略*/

效率如何呢？

$?gcc?-o?fibo2?fibo2.c
$?time?./fibo2?50
the?50?result?is?12586269025

real????0m0.002s
user????0m0.001s
sys????0m0.002s

可见，其效率并不逊于迭代法。尾递归在函数返回之前的最后一个操作仍然是递归调用。尾递归的好处是，进入下一个函数之前，已经获得了当前函数的结果，因此不需要保留当前函数的环境，内存占用自然也是比最开始提到的递归要小。时间复杂度为O(n)。

矩阵快速幂解法

这是一种高效的解法，需要推导，对此不感兴趣的可直接看最终推导结果。下面的式子成立是显而易见的，不多做解释。

如果a为矩阵，等式同样成立，后面我们会用到它。
假设有矩阵2*2矩阵A，满足下面的等式：

可以得到矩阵A：

因此也就可以得到下面的矩阵等式：

再进行变换如下：

以此类推，得到：

实际上f(n)就是矩A^(n-1)中的A[0][0],或者是矩A^n中的A[0][1]。

那么现在的问题就归结为，如何求A^n，其中A为2*2的矩阵。根据我们最开始的公式，很容易就有思路，代码实现如下：

/*fibo3.c*/
#include?<stdio.h>
#include?<stdlib.h>
#include?<string.h>
#define?MAX_COL?2
#define?MAX_ROW?2
typedef?unsigned?long?MatrixType;
/*计算2*2矩阵乘法，这里没有写成通用形式，有兴趣的可以自己实现通用矩阵乘法*/
int?matrixDot(MatrixType?A[MAX_ROW][MAX_COL],MatrixType?B[MAX_ROW][MAX_COL],MatrixType?C[MAX_ROW][MAX_COL])
{
???/*C为返回结果，由于A可能和C相同，因此使用临时矩阵存储*/
????MatrixType?tempMa[MAX_ROW][MAX_COL]?;
????memset(tempMa,0,sizeof(tempMa));
????/*这里简便处理*/
????tempMa[0][0]?=?A[0][0]?*?B[0][0]?+?A[0][1]?*?B?[1][0];
????tempMa[0][1]?=?A[0][0]?*?B[0][1]?+?A[0][1]?*?B?[1][1];
????tempMa[1][0]?=?A[1][0]?*?B[0][0]?+?A[1][1]?*?B?[1][0];
????tempMa[1][1]?=?A[1][0]?*?B[0][1]?+?A[1][1]?*?B?[1][1];
????memcpy(C,tempMa,sizeof(tempMa));

????return?0;
}
MatrixType?fibo(int?n)
{
????if(n?<=?1)
????????return?n;
????MatrixType?result[][MAX_COL]?=?{1,0,0,1};
????MatrixType?A[][2]?=?{1,1,1,0};
????while?(n?>?0)?
????{
????????/*判断最后一位是否为1，即可知奇偶*/
????????if?(n&1)?
????????{
????????????matrixDot(result,A,result);

????????}
????????n?/=?2;
????????matrixDot(A,A,A);
????}
????return?result[0][1];
}
/**main函数部分与fibo.c相同，这里省略*/

该算法的关键部分在于对A^n的计算,它利用了我们开始提到的等式，对奇数和偶数分别处理。假设n为9，初始矩阵为INIT则计算过程如下：

• 9为奇数，则计算INIT*A，随后A变为A*A，n变为9/2，即为4

• 4为偶数，则结果仍为INIT*A，随后A变为，n变为4/2，即2

• 2为偶数，则结果仍未INIT*A,随后变A变为 ,n变为2/2，即1

• 1为奇数，则结果为INIT*(A^8)*A

可以看到，计算次数类似与二分查找次数，其时间复杂度为O(logn)。
运行试试看：

$?gcc?-o?fibo3?fibo3.c
$?time?./fibo3?50
the?50?result?is?12586269025

real????0m0.002s
user????0m0.002s
sys????0m0.000s

通项公式解法

斐波那契数列的通项公式为：

关于通项公式的求解，可以当成一道高考数列大题，有兴趣的可以尝试一下（提示：两次构造等比数列）。C语言代码实现如下：

/*fibo4.c*/
#include?<stdio.h>
#include?<stdlib.h>
#include?<math.h>
unsigned?long?fibo(unsigned?long?n)
{
????if(n?<=1?)
????????return?n;
????return?(unsigned?long)((pow((1+sqrt(5))/2,n)-pow((1-sqrt(5))/2,n))/sqrt(5));
}
/**main函数部分与fibo.c相同，这里省略*/

来看一下效率：

$?gcc?-o?fibo4?fibo4.c?-lm
$?time?./fibo4
the?50?result?is?12586269025

real????0m0.002s
user????0m0.002s
sys????0m0.000s

计算第50个，速度还不错。

列表法

如果需要求解的斐波那契数列的第n个在有限范围内，那么完全可以将已知的斐波那契数列存储起来，在需要的时候读取即可，时间复杂度可以为O(1)。

斐波那契数列应用

关于斐波那契数列在实际中很常见，数学上也有很多奇特的性质，有兴趣的可在百科中查看。

总结

总结一下递归的优缺点：
优点：

• 实现简单

• 可读性好

缺点：

• 递归调用，占用空间大

• 递归太深，易发生栈溢出

• 可能存在重复计算

可以看到，对于求斐波那契数列的问题，使用一般的递归并不是一种很好的解法。
所以，当你使用递归方式实现一个功能之前，考虑一下使用递归带来的好处是否抵得上它的代价。