最小生成树:克鲁斯卡尔算法实现

内容导读

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内容图文

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title: ‘最小生成树:克鲁斯卡尔算法实现’
date: 2019-09-03 19:37:50
tags: python,数据结构
categories: 计算机理论

克鲁斯卡尔算法

算法原理及流程

原理

在一个连通图中不断选取权值最小的边，然后连起来，就是这样。

假设给定图G，结果图T

基本步骤如下：

1. 将G中的所有边按权值递增的顺序进行排序
2. 选择权值最短的边且边的两端点属于不同连通分量（如果两端点属于同一个连通分量中，那么就说明该子图是连通图！所以不行），然后该边与T中已选择的边进行连接，每次边连接都会使得T的连通分量减1
3. 当边数小于顶点数时，不断重复1,2

如果当做完上面这些步骤后，得出的结果T中不能包含G中的所有顶点，则说明原图G是不连通的（也就是不是任意一个节点到另一个节点都走的通）

这里有两个难点：

1. 最短边的选取

   思路①：采用优先队列，在python中可以通过优先级队列实现，其他语言像C++,Java中也有类似实现的数据结构。

   思路②：不断的扫描候选边列表，然后进行排序。这种方法就比较麻烦了，写的代码比较多，不过也很灵活，具体排序方式你可以选择。

2. 如何判断边的两个端点的连通分量

   思路①：不断的检查两个端点之间是否有路径，有路径就说明在同一个子图中，连通分量相同。不过这样也太麻烦了点还浪费计算时间

   思路②：前人提出的一种方法，为每个连通分量确定一个代表元，如果两个顶点的代表元相同，则表示他们连通成环。例如下图

   当初始化的时候v1,v2,v3,v4的代表元就是他们的序号也就对应0,1,2,3

   当v1 v2 构成新边的时候，就要把v2的代表元改为v1 的代表元0 。

   这时候v1,v2,v3,v4的代表元就更新为0,0,2,3

   v1 v2是的连通分量相同并且他们的代表元也是相同的。

   类似，如果想要连接v2 v3，此时v2 v3 的代表元不同，因此连接了也不会构成环。 直接把v3的代表元修改为v2的代表元即可，即0

   此时v1 v2 v3是连通的，他们的代表元是0,0,0

   如果下一次操作中，想要把v3 连接到v1 ，检查他们的代表元，都是0所以连接起来一定会构成环

   因此，可以使用代表元判断欲加入的边是否会与已选择集合T中的边构成环路。

构成过程举例

假设还是之前的这颗图G，其结果集T中目前还为空

初始化

全部边入队，自动在优先队列中根据权值排好序

并且初始化代表元列表，初始值为他们的下标。

例如v1的代表元初始值为1，v2的代表元初始值为2…vn的代表元初始值为n

第一次构造

1. 队首出队，所以<v1,v3>边出队

1. 检查v1 v3的代表元，很明显不同,所以将<v1,v3>加入T集合中

3. 合并代表元,修改等于代表元值为3的代表元的值，改为v1的代表元即1

第二次构造

1. 队首出队，所以<v4,v6>边出队

2. 检查v4 v6的代表元，很明显不同,所以将<v4,v6>加入T集合中

3. 合并代表元,修改等于代表元值为6的代表元的值，改为v4的代表元的值即4

第三次构造

1. 队首出队，所以<v2,v5>边出队

2. 检查v2 v5的代表元，很明显不同,所以将<v2,v5>加入T集合中

3. 合并代表元,修改等于代表元值为5的代表元的值，改为v2的代表元的值即2

第三次构造

1. 队首<v3,v6>出队

2. 检查v3 v6的代表元，不同,所以将<v3,v6>加入T集合中

3. 合并代表元,修改等于代表元值为4的代表元的值，改为v3代表元的值即1

第四次构造

1. 队首<v1,v4>出队

2. 检查v1 v4的代表元，相同,所以不将<v1,v4>加入T集合中

3. 此时代表元不进行任何操作

第五次构造

1. 队首<v3,v4>出队

2. 检查v3 v4的代表元，相同，所以不将<v3,v4>加入T集合中

3. 此时代表元不进行任何操作

第六次构造

1. <v2,v3>出队

2. 检查v2 v3的代表元，不同，所以将<v2,v3>加入T集合中

3. 合并代表元,修改等于代表元为2的代表元的值，改为v3代表元的值即1

可以发现，当前T集合中已经有5条边了，最小生成树已经生成完毕。同时观察到，代表元中的值也相同了，表示他们都在同一个子图中了。

算法实现

    # kruskal算法，最小生成树，前提该图必须是连通网
    def kruskal(self):
        # 初始化代表元和结果图
        result, reps, pqueue, edgesCount = GraphAL(graph={}), {}, [], 0
        for key in self._graph.keys():
            reps[key] = key
        # 边入队，按优先级排序,选出最短边
        for key in self._graph:
            for end in self._graph[key].keys():
                edges = self._graph[key][end]
                heapq.heappush(pqueue, (edges, key, end))  # 边入队
            pass
        # 当边数达到n-1条时，即成功得到最小生成树时停止
        while edgesCount < self.get_vertexNum() - 1 and not pqueue.__len__() == 0:
            # 出队
            pair = list(heapq.heappop(pqueue))
            # 判断是否有该顶点,如果没有就要加入
            if pair[1] not in result._graph:
                result.add_vertex(pair[1])
            if pair[2] not in result._graph:
                result.add_vertex(pair[2])
            # 检查两点是否属于不同连通分量
            if reps[pair[1]] != reps[pair[2]]:
                result.add_edge(pair[1], pair[2], pair[0])
                edgesCount += 1
                # 合并连通分量
                rep, orep = reps[pair[1]], reps[pair[2]]
                for key in reps.keys():
                    if reps[key] == orep:
                        reps[key] = rep
        return result
        pass

测试

与刚才结果自动推的完全一致。

内容总结

以上是互联网集市为您收集整理的最小生成树:克鲁斯卡尔算法实现全部内容，希望文章能够帮你解决最小生成树:克鲁斯卡尔算法实现所遇到的程序开发问题。 如果觉得互联网集市技术教程内容还不错，欢迎将互联网集市网站推荐给程序员好友。

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