二叉查找树的实现与讲解(C++)

内容导读

互联网集市收集整理的这篇技术教程文章主要介绍了二叉查找树的实现与讲解(C++)，小编现在分享给大家，供广大互联网技能从业者学习和参考。文章包含5482字，纯文字阅读大概需要8分钟。

内容图文

   注：这篇文章源于：https://mp.csdn.net/postedit/99710904， 无需怀疑抄袭，同一个作者，这是我在博客园的账号。

    在二叉树中，有两种非常重要的条件，分别是两类数据结构的基础性质。 其一是“堆性质”，二叉堆以及高级数据结构中的所有可合并堆都满足“堆 性质”。 其二是 “BST性质”，它是二叉查找树（Binary Search Tree）以及所有平衡树的基础。

   二叉查找树的定义

   给定一棵二叉树，树上的每个节点都带有一个数值，成为节点的 “关键码” 。所谓BST性质是指，对于树中的任意一个节点：

  ·该节点的关键码不小于它的左子树（如果非空）中任意节点的关键码

  ·该节点的关键码不大于它的右子树（如果非空）中任意节点的关键码 满足上述性质的二叉树就是一棵“二叉查找树”（BST）。 二叉查找树的中序遍历是一个关键码单调递增的节点序列。

    二叉查找树的存储

    用数组模拟二叉树

1 struct node {
2     int l, r;//左右子节点在数组中的下标
3     int val;//节点关键码
4 }tree[Size];//数组模拟链表
5 int tot;//使用过和正在使用的节点总数量
6 int root;//当前根节点编号，即数组下标

   优点：编程复杂度低。不需要考虑分配内存和回收内存

    缺点：内存利用率低

    用指针表示二叉树

1 struct node {
2     node *l, *r; //指向左右儿子
3     int val;//节点关键码
4 }root;

    优点：内存利用率高

    缺点：编程复杂度高

    二叉查找树的操作

    BST支持的操作：

? 树的建立

? 插入关键码为x的节点

? 查询关键码为x的节点的排名

? 求关键码为x的节点的前驱

? 求关键码为x的节点的后继

? 删除关键码为x的节点

   二叉查找树的建立

    为了避免越界，减少边界情况的特殊判断，编程实现时一般在 BST中额外插入一个关键码为正无穷和一个关键码为负无穷的节点。 仅由这两个节点构成的BST就是一棵初始的空BST。

int New(int val) {
    a[++tot].val = val;
    return tot;
}
void Build() {
    New(-INF), New(INF);
    root = 1, a[1].r = 2;
}

    二叉查找树的检索

    在BST中检索是否存在关键码为val的节点。 设变量p等于根节点root，执行以下过程：

    1.若p的关键码等于val，则已经找到

    2.若p的关键码大于val

        a.若p的左子节点为空，则说明不存在val

        b.若p的左子节点不空，在p的左子树中递归进行检索

    3.若瀃的关键码小于val

        a.若p的右子节点为空，则说明不存在val

        b.若p的右子节点不空，在p的右子树中递归进行检索

    在如下BST中：

?

查找6：

?

查找3：

?

1 int Get(int p, int val) {
2     if (p == 0) return 0; //检索失败
3     if (val == a[p].val) return p; //检索成功
4     if (val < a[p].val) return Get(a[p].l, val); //递归检索左子树
5     else return Get(a[p].r, val);//递归检索右子树
6 }

    二叉查找树的插入

    在BST中插入一个新的值val（假设目前BST中不存在关键码为val的节点， 若存在则不插入），与BST的检索过程类似。

    在发现要走向的p的子节点为空，说明val不存在时，直接建立关键码为 val的新节点作为p的子节点。

1 void Insert(int &p, int val) {
2     if (p == 0) {
3         p = new(val); //p是引用，其父节点的l或r值会被同时更新
4         return;
5     }
6     if (val == a[p].val) return;
7     if (val < a[p].val) Insert(a[p].l, val);
8     else Insert(a[p].r, val);
9 }

    二叉查找树找后继

   在BST中， val 的后继指的是在关键码大于 val 的前提下，关键码最小的节点。
初始化val为具有正无穷关键码的那个节点的编号(编号为2)。然后，从根节点开始在BST中检索val。在检索的过程中，每经过一个节点，都检查该节点的关键码，判断能否更新所求的后继val。
检索完成后，有三种可能的结果：
    1.没有找到val此时val的后继就在已经经过的节点中，val即为所求。
    2.找到了关键码为val的节点p，但p没有右子树与上一种情况相同，val即为所求
    3.找到了关键码为val的节点p，且p有右子树从p的右子节点出发，一直向左走，就找到了val的后继

 1 int GetNext(int val) {
 2     int ans = 2;
 3     int p = root;
 4     while (p) {
 5         if (val == a[p].val) {
 6             if (a[p].r > 0) {
 7                 p = a[p].r;
 8                 while (a[p].l > 0) p = a[p].l;
 9                 ans = p;
10             }
11             break;
12         }
13         if (a[p].val > val && a[p].val < a[ans].val) ans = p;
14         p = val < a[p].val ? a[p].l : a[p].r;
15     }
16     return a[ans].val;
17 }

        二叉查找树找前驱

 1 int GetPre(int val) {
 2     int ans = 1; 
 3     int p = root;
 4     while (p) {
 5         if (val == a[p].val) {
 6             if (a[p].l > 0) {
 7                 p = a[p].l;
 8                 while (a[p].r > 0) p = a[p].r; 
 9                 ans = p;
10             }
11             break;
12         }
13         if (a[p].val < val && a[p].val > a[ans].val) ans = p;
14         p = val < a[p].val ? a[p].l : a[p].r;
15     }
16     return a[ans].val;
17 }

    二叉查找树的删除

    从BST中删除关键码为val的节点 首先，在BST中检索val，得到节点p 若p的子节点个数小于2，则直接删除p，并令p的子节点代替p的位置，与p 的父节点相连。 若p既有左子树又有右子树，则在BST中求出val的后继节点next。因为next 没有左子树，所以可以直接删除nest，并令next的右子树代替nest的位置。最后， 再让next节点代替p节点，删除p即可。

 1 void Remove(int val) {
 2     //检索val， 得到节点p
 3     int &p = root;
 4     while (p) {
 5         if(val == a[p].val) break;
 6         p = val < a[p].val ? a[p].l : a[p].r;
 7     }
 8     if (p == 0) return;//结点不存在
 9     if (a[p].l == 0) //没有左子树
10         p = a[p].r; //右子树代替p的位置，p是引用
11     else if (a[p].r == 0) //没有右子树
12         p = a[p].l; //左子树代替p的位置，p是引用
13     else { //求后继
14         int next = a[p].r;
15         while (a[next].l > 0) next = a[next].l;
16         Remove(a[next].val); //next一定没有左子树，直接删除
17         a[next].l = a[p].l, a[next].r = a[p].r; //节点next代替p的位置
18         p = next;
19     }
20 }

    二叉查找树的性能分析

    在随机数据中，BST一次操作的期望复杂度是O(log n)。然而， BST很容易退化，例如在BST中依此插入一个有序序列，将会得到一条 链，平均每次操作的复杂度都为O(n)。 这样的左右子树大小相差很大的BST是不平衡的。有很多种方法可 以维持BST的平衡，从而产生了各种平衡树。

THE END

内容总结

以上是互联网集市为您收集整理的二叉查找树的实现与讲解(C++)全部内容，希望文章能够帮你解决二叉查找树的实现与讲解(C++)所遇到的程序开发问题。 如果觉得互联网集市技术教程内容还不错，欢迎将互联网集市网站推荐给程序员好友。

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